Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
«Вятський державний гуманітарний університет»
Фізико-математичний факультет
Кафедра дидактики фізики і математики
Випускна кваліфікаційна робота
Узагальнення при навчанні розв'язання математичних задач
Кіров
2008
Зміст
Введення
1. Теоретичні основи узагальнень при навчанні школярів математики
1.1. Поняття узагальнення і його роль при навчанні математики
1.2. Види і прийоми узагальнень
1.3. Порівняння та аналіз - необхідні умови узагальнення
1.4. Узагальнення за аналогією при навчанні рішенню завдань
1.5. Індуктивні узагальнення при навчанні рішенню завдань
Висновки по першому розділі
2. Методичні рекомендації здійснення узагальнень на уроках математики при навчанні рішенню завдань
2.1. Узагальнення при навчанні методам розв'язування математичних задач
2.1.1 Узагальнення способів вирішення конкретних завдань до методу розв'язання класу задач
2.1.2 Узагальнення методів вирішення завдань
2.1.3 Узагальнення способів пошуку вирішення багатьох завдань до системи рад
2.2 Узагальнення як метод розв'язання математичних задач
2.2.1 Узагальнення рішень завдань по індукції
2.2.2 Рішення задач «в загальному вигляді»
2.3 Узагальнення як джерело нових математичних задач
2.3.1 Узагальнення даних при збереженні шуканих
2.3.2 Узагальнення (додавання шуканих) при збереженні даних
2.3.3 Узагальнення даних і шуканих
2.4 Узагальнення завдань ведуть до формування математичних понять і теорем
2.5 Таблиці як засіб узагальнення при навчанні розв'язання математичних задач
2.6 Дослідне викладання
Висновки по другому розділі
Висновок
Бібліографічний список
Введення
У всі часи відзначалася велика значущість математичної освіти для людини. У процесі засвоєння математичних знань відбувається розвиток навичок проведення логічних міркувань, оволодіння вміннями аналізувати, узагальнювати, спеціалізувати, визначати поняття, складати судження, знаходити шляхи вирішення поставленого завдання. При вивченні математики формується мислення учнів, розвивається мова, а так само такі якості вираження думки, як порядок, точність, ясність, стислість, обгрунтованість.
Основним завданням методики викладання математики є пошук шляхів підвищення ефективності процесу навчання школярів математики.
На думку вчених вирішення проблеми сприяє використання узагальнень у процесі навчання. Вивченням питання здійснення узагальнень на уроках математики займалися багато методисти - математики В.Г. Болтянский, В.А. Далингер, Є.С. Канін, Г.І. Саранцев, А.А. Столяр, Д. Пойа, Р.С. Черкасов та інші.
У шкільній практиці ж узагальнення використовуються частіше при вивченні понять, рідше теорем, і зовсім рідко при навчанні рішенню завдань.
На думку вчителів математики, головною причиною недостатнього здійснення узагальнень на уроках вирішення завдань є відсутність методичних рекомендацій. Тому необхідно розробити такі рекомендації щодо здійснення узагальнень у процесі навчання розв'язання математичних задач. Це визначає актуальність даної роботи.
Об'єктом дослідження є процес навчання розв'язання задач на уроках математики в середній (повної) школі.
Предмет дослідження - узагальнення при навчанні розв'язання математичних задач.
Мета роботи: розглянути теоретичні основи узагальнень при навчанні школярів математики, розробити методичні рекомендації (змістовний аспект) здійснення узагальнень при навчанні розв'язання математичних задач і опробировать їх на уроках математики в 10-му класі.
Гіпотеза дослідження: якщо на уроках математики організувати процес навчання рішенню завдань відповідно до запропонованих методичними рекомендаціями, то це дозволить підвищити результативність навчання школярів рішенню завдань.
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі завдання:
1. Розглянути поняття узагальнення, види і прийоми узагальнень у філософській, психолого-педагогічної, математико-методичній літературі та їх роль в процесі навчання математики.
2. Виявити необхідні умови здійснення узагальнень при навчанні математики.
3. Розглянути узагальнення за аналогією й індуктивними узагальненнями при навчанні розв'язання математичних задач.
4. Розробити методичні рекомендації здійснення узагальнень при навчанні учнів середньої (повної) школи розв'язання математичних задач і перевірити їх ефективність в 10 класі.
Методи дослідження:
Для вирішення поставлених завдань використовувалися такі методи: вивчення філософської, психолого-педагогічної, математико-методичної літератури з проблеми здійснення узагальнень у процесі навчання математики, спостереження за роботою вчителів математики в період практики, застосування розроблених навчально - методичних матеріалів у процесі навчання математики.
Робота складається з вступу, двох розділів, висновків і бібліографічного списку.
Практична значимість роботи полягає в тому, що розроблені методичні рекомендації можуть бути використані вчителями математики в їх діяльності.
1. Теоретичні основи узагальнень при навчанні школярів математики
1.1. Поняття узагальнення і його роль при навчанні математики
Проблемі узагальнення в процесі пізнання присвячені праці багатьох вчених філософів, психологів, педагогів, математиків.
З точки зору логіки узагальнення - це «побудова (виведення) універсальних та екзистенційних тверджень: а) у системах дедуктивної логіки - на основі постуліруемих правил побудови таких тверджень (правил виводу для кванторів спільності та існування) - т. зв. узагальнення змінних, б) в системах індуктивної логіки на основі дослідних (експериментальних) даних ("даних емпіричних свідчень») - т.зв. індуктивні узагальнення ». З гносеологічної (і методологічної) точки зору узагальнення - це «одне з найважливіших засобів наукового пізнання, процедура переходу на більш високий рівень абстракції на основі виявлення (у розглянутій області предметів) спільних для цих предметів ознак: властивостей, відносин, тенденцій розвитку і т. п. »[40].
У філософському енциклопедичному словнику узагальнення розуміється як «розумовий перехід: 1. Від окремих актів, подій до ототожнення їх в думках (Предмет -> Думка). 2. Від однієї думки до іншої (Думка -> Думка) »[41].
Д.П. Горський розуміє під узагальненням розумову операцію, перехід від думки про індивідуальне, до думки про загальний, від думки про загальний до думок про більш загальному, а так само перехід від окремих фактів, предметів і явищ до ототожнення їх в думках і освіти про них загальних понять і суджень [8].
У психолого-педагогічній літературі також існують різні підходи до визначення поняття «узагальнення». У трактуваннях поняття простежується зв'язок узагальнення і мислення, узагальнення і пізнання.
С.Л. Рубінштейн кажучи про мислення, стверджує, що «будь-яке мислення відбувається в узагальненнях. Воно завжди йде від одиничного до загального і від загального до одиничного. Мислення - це рух думки, що розкриває зв'язок, яка веде від окремого до загального і від загального до окремого. Мислення - це опосередковане - засноване на розкритті зв'язків, відносин, опосредовании - і узагальнене пізнання об'єктивної реальності »[37, с. 310]. Автор відзначає, що узагальнення можна розуміти як основний шлях утворення понять. У процесі узагальнення відбувається, з одного боку, пошук і позначення словом деякого інваріанта в різноманітті предметів, з іншого - впізнання предметів даного різноманіття.
Л.С. Виготський у своїй психологічній теорії трактує узагальнення як особливий спосіб відображення дійсності у свідомості людини [7].
У психологічному словнику за редакцією В.В. Давидова дається таке визначення узагальнення: «Узагальнення - одна з основних характеристик пізнавальних процесів, що складається у виділенні і фіксації відносно стійких, інваріантних властивостей предметів та їх відносин» [34].
Педагоги поняття «узагальнення» також визначають неоднозначно.
У педагогічному енциклопедичному словнику узагальнення визначається як «перехід на вищий щабель абстракції шляхом виявлення загальних ознак (властивостей, відносин, тенденцій розвитку тощо) предметів розглядуваної області; тягне за собою появу нових наукових понять, законів, теорій. Узагальнення забезпечує мислення учнів визначеність і послідовність »[29].
«Осмислення безпосередньо переростає в процес узагальнення знань, у ході якого узагальнюються і об'єднуються загальні суттєві риси предметів і явищ дійсності, що вивчаються у відповідний період навчання» - стверджує Ю.К. Бабанський [28, с. 147]. На його думку, узагальнення є одним із структурних етапів засвоєння знання (сприйняття, розуміння, осмислення, узагальнення, закріплення, застосування).
При навчанні математики поширеним є визначення узагальнення через множини. Д. Пойя [30] і Ю.М. Колягін [23] визначають узагальнення як перехід від даної множини предметів до розгляду більш «ємного» безлічі, що містить дане.
У посібниках з методики викладання математики поширене поняття узагальнення як операції уявного виділення яких-небудь загальних істотних властивостей, що належать тільки даному класу предметів або відносин [22].
Узагальнення як перехід від понять і теорем до більш загальних розкривають М.С. Бернштейн [4], К.С. Богушевської [5], Д.І. Розенфельд [36], О.Г. Мордкович [26] та інші.
Як перехід від ключових, опорних задач до більш складних розглядають узагальнення Я.П. Понарін [33], Р.Г. Хазанкін [12] та інші.
Узагальнення як інструмент при складанні моделей визначається в роботах Л.М. Фрідмана [42], П.М. Ердніева [43] та інших.
Узагальнення способів вирішення завдань розглядають О.І. Островський [27], Є.С. Канін [14], Г.В. Дорофєєв [11] та інші.
Узагальнення як прийом систематизації математичних знань і вмінь розглядає у своїх роботах В.А. Далингер [21].
Як ефективний евристичний прийом відкриття нових фактів розглядає узагальнення Г.І. Саранцев [38] у своїй книзі «Загальна методика викладання математики». Він вважає, що узагальнення, як форма переходу від приватного до загального, має на меті виділення загальних істотних властивостей, що належать певному класу об'єктів.
Не дивлячись на різні підходи до визначення поняття «узагальнення», всі вчені визнають важливу роль узагальнень у процесі пізнання:
- Освіту будь-якого загального поняття дійсності необхідним чином включає процес узагальнення;
- Узагальнення дають можливість розкривати внутрішні зв'язки між різними вже відкритими законами; завдяки узагальнень створюються ефективні єдині правила оперування з досліджуваними предметами;
- Узагальнені теорії дають можливість пояснювати факти, які не могли бути пояснені в межах колишньої теорії.
- Узагальнення розвиває мотивацію до навчання, полегшує вивчення і застосування знань учнями, покращує якість знань, що в підсумку призводить до підвищення освітнього, виховного і розвивального потенціалу навчання.
Необхідність здійснення узагальнень у навчанні математики відзначають В.Г. Болтянский [6], Ю.М. Колягін [23], Д. Пойа [30], Г.І. Саранцев [38] та інші. Вони вважають, що знання, за якими не стоїть узагальнюючої роботи думки, - це формальні знання.
П.М. Ерднієв бачить значення узагальнення в тому, що його застосування в процесі навчання допомагає самостійного розширенню і поглибленню наявних знань, так як «узагальнення пов'язано з перетворенням думок, з розумовою експериментуванням; з розвитком інтуїції і перебором різних образів при відшуканні загального знання. Узагальнення є одне з найважливіших засобів самонавчання, автодідактікі ». Він також зазначає, що вміння узагальнювати є неодмінною складовою частиною творчого мислення, так як «цим шляхом думку людини виходить за межі відомого, прокладаючи шлях до невідомого» [43, c. 61].
За допомогою узагальнення відбувається розвиток творчих здібностей учнів; розвиток пізнавального інтересу при вирішенні завдань [39], формування та розвитку вміння порівнювати, що має велике значення в розвитку мислення учнів [16]; формування вміння бачити за абстрактними позначеннями реальні взаємозв'язки в задачах [19] .
Завдання є і метою, і засобом навчання математики. Тому необхідно використовувати потенціал узагальнення в процесі навчання рішенню завдань, так як узагальнення можуть сприяти виведенню загального методу розв'язання деякого класу задач з рішень конкретних завдань, виступати як метод розв'язання задач, наприклад, узагальнена задача може виявитися легше і зрозуміліше вихідної. При складанні нових завдань узагальнення є засобом видозміни завдання.
Таким чином, в роботі під узагальненням будемо розуміти перехід від одиничного до загального, від менш загального до більш загального за рахунок виділення загальних істотних властивостей або відносин. Узагальнення відіграє дуже важливу роль у процесі навчання математики. За допомогою узагальнення відбувається розширення і поглиблення знань, а так само їх систематизація. Узагальнення допомагає у формуванні та розвитку мотивації до вивчення математики. Воно сприяє посиленню внутріпредметних зв'язків, розвиває творче мислення і пізнавальний інтерес у процесі навчання, є суттєвою стороною розумової діяльності. Необхідно використовувати потенціал узагальнення в процесі навчання розв'язання математичних задач. При вирішенні завдань узагальнення може здійснюватися як метод розв'язання, або, навпаки, допомогти у висновку методу розв'язання задачі, а так само зручно при складанні нових завдань.
1.2 Види і прийоми узагальнень
У методиці викладання математики немає загальноприйнятої класифікації видів узагальнення. Використовуючи узагальнення, методисти в основному беруть за основу класифікації філософів і психологів.
Найбільш поширеною є класифікація способів узагальнень, запропонована Д.П. Горським [9].
1. Узагальнення за допомогою переходу від конкретних висловлювань до пропозицій, що містить змінні. (Введення поняття багатокутника, багатогранника, рівняння і ін математичні поняття після розгляду окремих прикладів.)
2. Узагальнення за допомогою введення нових понять, правил, операцій, законів. (Введення понять конгруентності, рівновеликими, равнонаправленності, подібності фігур, понять симетрії та інше)
3. Узагальнення за допомогою аналізу сенсу деяких висловів, що виникають у ході розвитку науки. (В арифметиці - введене Ейлером визначення множення цілого числа на дріб через звернення до закону комутативності, у геометрії - запровадження поняття кута між перехресними прямими, між прямою і площиною, понять двогранного, багатогранного кута і ін)
4. Узагальнення як перенесення закономірностей, дійсних для однієї області, на нові предметні області. (Величини і числа, алгебраізація геометрії та ін)
5. Узагальнення через індукцію, тобто перехід від суджень, теорій, що мають приватне значення, до загальним закономірностям. (В арифметиці: кожне парне число можна представити у вигляді суми двох простих чисел; в геометрії: всі розглянуті в просторі фігури, що володіють властивістю симетрії, мають або нескінченне, або кінцеве непарне число осей симетрії та інше)
6. Узагальнення за допомогою об'єднання двох або кількох закономірностей в одну більш загальну закономірність. (Поняття про геометричні перетвореннях, композиції перетворень та ін.)
Розподіл узагальнень на емпіричні і теоретичні, здійснене С.Л. Рубінштейном і В.В. Давидовим, так само використовується в методиці викладання математики.
В основі емпіричного узагальнення лежить операція порівняння. Проводячи порівняння однієї групи предметів, учень виділяє їх зовнішні, однакові загальні властивості, позначає їх будь-яким словом, яке в результаті може стати поняттям про цю групу предметів.
Теоретичне узагальнення здійснюється шляхом аналізу даних про якомусь одному предметі з метою виділення істотних внутрішніх зв'язків, які визначають цей предмет як цілісну систему. Державна освітня установа вищої професійної освіти
«Вятський державний гуманітарний університет»
Фізико-математичний факультет
Кафедра дидактики фізики і математики
Випускна кваліфікаційна робота
Узагальнення при навчанні розв'язання математичних задач
Кіров
2008
Зміст
Введення
1. Теоретичні основи узагальнень при навчанні школярів математики
1.1. Поняття узагальнення і його роль при навчанні математики
1.2. Види і прийоми узагальнень
1.3. Порівняння та аналіз - необхідні умови узагальнення
1.4. Узагальнення за аналогією при навчанні рішенню завдань
1.5. Індуктивні узагальнення при навчанні рішенню завдань
Висновки по першому розділі
2. Методичні рекомендації здійснення узагальнень на уроках математики при навчанні рішенню завдань
2.1. Узагальнення при навчанні методам розв'язування математичних задач
2.1.1 Узагальнення способів вирішення конкретних завдань до методу розв'язання класу задач
2.1.2 Узагальнення методів вирішення завдань
2.1.3 Узагальнення способів пошуку вирішення багатьох завдань до системи рад
2.2 Узагальнення як метод розв'язання математичних задач
2.2.1 Узагальнення рішень завдань по індукції
2.2.2 Рішення задач «в загальному вигляді»
2.3 Узагальнення як джерело нових математичних задач
2.3.1 Узагальнення даних при збереженні шуканих
2.3.2 Узагальнення (додавання шуканих) при збереженні даних
2.3.3 Узагальнення даних і шуканих
2.4 Узагальнення завдань ведуть до формування математичних понять і теорем
2.5 Таблиці як засіб узагальнення при навчанні розв'язання математичних задач
2.6 Дослідне викладання
Висновки по другому розділі
Висновок
Бібліографічний список
Введення
У всі часи відзначалася велика значущість математичної освіти для людини. У процесі засвоєння математичних знань відбувається розвиток навичок проведення логічних міркувань, оволодіння вміннями аналізувати, узагальнювати, спеціалізувати, визначати поняття, складати судження, знаходити шляхи вирішення поставленого завдання. При вивченні математики формується мислення учнів, розвивається мова, а так само такі якості вираження думки, як порядок, точність, ясність, стислість, обгрунтованість.
Основним завданням методики викладання математики є пошук шляхів підвищення ефективності процесу навчання школярів математики.
На думку вчених вирішення проблеми сприяє використання узагальнень у процесі навчання. Вивченням питання здійснення узагальнень на уроках математики займалися багато методисти - математики В.Г. Болтянский, В.А. Далингер, Є.С. Канін, Г.І. Саранцев, А.А. Столяр, Д. Пойа, Р.С. Черкасов та інші.
У шкільній практиці ж узагальнення використовуються частіше при вивченні понять, рідше теорем, і зовсім рідко при навчанні рішенню завдань.
На думку вчителів математики, головною причиною недостатнього здійснення узагальнень на уроках вирішення завдань є відсутність методичних рекомендацій. Тому необхідно розробити такі рекомендації щодо здійснення узагальнень у процесі навчання розв'язання математичних задач. Це визначає актуальність даної роботи.
Об'єктом дослідження є процес навчання розв'язання задач на уроках математики в середній (повної) школі.
Предмет дослідження - узагальнення при навчанні розв'язання математичних задач.
Мета роботи: розглянути теоретичні основи узагальнень при навчанні школярів математики, розробити методичні рекомендації (змістовний аспект) здійснення узагальнень при навчанні розв'язання математичних задач і опробировать їх на уроках математики в 10-му класі.
Гіпотеза дослідження: якщо на уроках математики організувати процес навчання рішенню завдань відповідно до запропонованих методичними рекомендаціями, то це дозволить підвищити результативність навчання школярів рішенню завдань.
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі завдання:
1. Розглянути поняття узагальнення, види і прийоми узагальнень у філософській, психолого-педагогічної, математико-методичній літературі та їх роль в процесі навчання математики.
2. Виявити необхідні умови здійснення узагальнень при навчанні математики.
3. Розглянути узагальнення за аналогією й індуктивними узагальненнями при навчанні розв'язання математичних задач.
4. Розробити методичні рекомендації здійснення узагальнень при навчанні учнів середньої (повної) школи розв'язання математичних задач і перевірити їх ефективність в 10 класі.
Методи дослідження:
Для вирішення поставлених завдань використовувалися такі методи: вивчення філософської, психолого-педагогічної, математико-методичної літератури з проблеми здійснення узагальнень у процесі навчання математики, спостереження за роботою вчителів математики в період практики, застосування розроблених навчально - методичних матеріалів у процесі навчання математики.
Робота складається з вступу, двох розділів, висновків і бібліографічного списку.
Практична значимість роботи полягає в тому, що розроблені методичні рекомендації можуть бути використані вчителями математики в їх діяльності.
1. Теоретичні основи узагальнень при навчанні школярів математики
1.1. Поняття узагальнення і його роль при навчанні математики
Проблемі узагальнення в процесі пізнання присвячені праці багатьох вчених філософів, психологів, педагогів, математиків.
З точки зору логіки узагальнення - це «побудова (виведення) універсальних та екзистенційних тверджень: а) у системах дедуктивної логіки - на основі постуліруемих правил побудови таких тверджень (правил виводу для кванторів спільності та існування) - т. зв. узагальнення змінних, б) в системах індуктивної логіки на основі дослідних (експериментальних) даних ("даних емпіричних свідчень») - т.зв. індуктивні узагальнення ». З гносеологічної (і методологічної) точки зору узагальнення - це «одне з найважливіших засобів наукового пізнання, процедура переходу на більш високий рівень абстракції на основі виявлення (у розглянутій області предметів) спільних для цих предметів ознак: властивостей, відносин, тенденцій розвитку і т. п. »[40].
У філософському енциклопедичному словнику узагальнення розуміється як «розумовий перехід: 1. Від окремих актів, подій до ототожнення їх в думках (Предмет -> Думка). 2. Від однієї думки до іншої (Думка -> Думка) »[41].
Д.П. Горський розуміє під узагальненням розумову операцію, перехід від думки про індивідуальне, до думки про загальний, від думки про загальний до думок про більш загальному, а так само перехід від окремих фактів, предметів і явищ до ототожнення їх в думках і освіти про них загальних понять і суджень [8].
У психолого-педагогічній літературі також існують різні підходи до визначення поняття «узагальнення». У трактуваннях поняття простежується зв'язок узагальнення і мислення, узагальнення і пізнання.
С.Л. Рубінштейн кажучи про мислення, стверджує, що «будь-яке мислення відбувається в узагальненнях. Воно завжди йде від одиничного до загального і від загального до одиничного. Мислення - це рух думки, що розкриває зв'язок, яка веде від окремого до загального і від загального до окремого. Мислення - це опосередковане - засноване на розкритті зв'язків, відносин, опосредовании - і узагальнене пізнання об'єктивної реальності »[37, с. 310]. Автор відзначає, що узагальнення можна розуміти як основний шлях утворення понять. У процесі узагальнення відбувається, з одного боку, пошук і позначення словом деякого інваріанта в різноманітті предметів, з іншого - впізнання предметів даного різноманіття.
Л.С. Виготський у своїй психологічній теорії трактує узагальнення як особливий спосіб відображення дійсності у свідомості людини [7].
У психологічному словнику за редакцією В.В. Давидова дається таке визначення узагальнення: «Узагальнення - одна з основних характеристик пізнавальних процесів, що складається у виділенні і фіксації відносно стійких, інваріантних властивостей предметів та їх відносин» [34].
Педагоги поняття «узагальнення» також визначають неоднозначно.
У педагогічному енциклопедичному словнику узагальнення визначається як «перехід на вищий щабель абстракції шляхом виявлення загальних ознак (властивостей, відносин, тенденцій розвитку тощо) предметів розглядуваної області; тягне за собою появу нових наукових понять, законів, теорій. Узагальнення забезпечує мислення учнів визначеність і послідовність »[29].
«Осмислення безпосередньо переростає в процес узагальнення знань, у ході якого узагальнюються і об'єднуються загальні суттєві риси предметів і явищ дійсності, що вивчаються у відповідний період навчання» - стверджує Ю.К. Бабанський [28, с. 147]. На його думку, узагальнення є одним із структурних етапів засвоєння знання (сприйняття, розуміння, осмислення, узагальнення, закріплення, застосування).
При навчанні математики поширеним є визначення узагальнення через множини. Д. Пойя [30] і Ю.М. Колягін [23] визначають узагальнення як перехід від даної множини предметів до розгляду більш «ємного» безлічі, що містить дане.
У посібниках з методики викладання математики поширене поняття узагальнення як операції уявного виділення яких-небудь загальних істотних властивостей, що належать тільки даному класу предметів або відносин [22].
Узагальнення як перехід від понять і теорем до більш загальних розкривають М.С. Бернштейн [4], К.С. Богушевської [5], Д.І. Розенфельд [36], О.Г. Мордкович [26] та інші.
Як перехід від ключових, опорних задач до більш складних розглядають узагальнення Я.П. Понарін [33], Р.Г. Хазанкін [12] та інші.
Узагальнення як інструмент при складанні моделей визначається в роботах Л.М. Фрідмана [42], П.М. Ердніева [43] та інших.
Узагальнення способів вирішення завдань розглядають О.І. Островський [27], Є.С. Канін [14], Г.В. Дорофєєв [11] та інші.
Узагальнення як прийом систематизації математичних знань і вмінь розглядає у своїх роботах В.А. Далингер [21].
Як ефективний евристичний прийом відкриття нових фактів розглядає узагальнення Г.І. Саранцев [38] у своїй книзі «Загальна методика викладання математики». Він вважає, що узагальнення, як форма переходу від приватного до загального, має на меті виділення загальних істотних властивостей, що належать певному класу об'єктів.
Не дивлячись на різні підходи до визначення поняття «узагальнення», всі вчені визнають важливу роль узагальнень у процесі пізнання:
- Освіту будь-якого загального поняття дійсності необхідним чином включає процес узагальнення;
- Узагальнення дають можливість розкривати внутрішні зв'язки між різними вже відкритими законами; завдяки узагальнень створюються ефективні єдині правила оперування з досліджуваними предметами;
- Узагальнені теорії дають можливість пояснювати факти, які не могли бути пояснені в межах колишньої теорії.
- Узагальнення розвиває мотивацію до навчання, полегшує вивчення і застосування знань учнями, покращує якість знань, що в підсумку призводить до підвищення освітнього, виховного і розвивального потенціалу навчання.
Необхідність здійснення узагальнень у навчанні математики відзначають В.Г. Болтянский [6], Ю.М. Колягін [23], Д. Пойа [30], Г.І. Саранцев [38] та інші. Вони вважають, що знання, за якими не стоїть узагальнюючої роботи думки, - це формальні знання.
П.М. Ерднієв бачить значення узагальнення в тому, що його застосування в процесі навчання допомагає самостійного розширенню і поглибленню наявних знань, так як «узагальнення пов'язано з перетворенням думок, з розумовою експериментуванням; з розвитком інтуїції і перебором різних образів при відшуканні загального знання. Узагальнення є одне з найважливіших засобів самонавчання, автодідактікі ». Він також зазначає, що вміння узагальнювати є неодмінною складовою частиною творчого мислення, так як «цим шляхом думку людини виходить за межі відомого, прокладаючи шлях до невідомого» [43, c. 61].
За допомогою узагальнення відбувається розвиток творчих здібностей учнів; розвиток пізнавального інтересу при вирішенні завдань [39], формування та розвитку вміння порівнювати, що має велике значення в розвитку мислення учнів [16]; формування вміння бачити за абстрактними позначеннями реальні взаємозв'язки в задачах [19] .
Завдання є і метою, і засобом навчання математики. Тому необхідно використовувати потенціал узагальнення в процесі навчання рішенню завдань, так як узагальнення можуть сприяти виведенню загального методу розв'язання деякого класу задач з рішень конкретних завдань, виступати як метод розв'язання задач, наприклад, узагальнена задача може виявитися легше і зрозуміліше вихідної. При складанні нових завдань узагальнення є засобом видозміни завдання.
Таким чином, в роботі під узагальненням будемо розуміти перехід від одиничного до загального, від менш загального до більш загального за рахунок виділення загальних істотних властивостей або відносин. Узагальнення відіграє дуже важливу роль у процесі навчання математики. За допомогою узагальнення відбувається розширення і поглиблення знань, а так само їх систематизація. Узагальнення допомагає у формуванні та розвитку мотивації до вивчення математики. Воно сприяє посиленню внутріпредметних зв'язків, розвиває творче мислення і пізнавальний інтерес у процесі навчання, є суттєвою стороною розумової діяльності. Необхідно використовувати потенціал узагальнення в процесі навчання розв'язання математичних задач. При вирішенні завдань узагальнення може здійснюватися як метод розв'язання, або, навпаки, допомогти у висновку методу розв'язання задачі, а так само зручно при складанні нових завдань.
1.2 Види і прийоми узагальнень
У методиці викладання математики немає загальноприйнятої класифікації видів узагальнення. Використовуючи узагальнення, методисти в основному беруть за основу класифікації філософів і психологів.
Найбільш поширеною є класифікація способів узагальнень, запропонована Д.П. Горським [9].
1. Узагальнення за допомогою переходу від конкретних висловлювань до пропозицій, що містить змінні. (Введення поняття багатокутника, багатогранника, рівняння і ін математичні поняття після розгляду окремих прикладів.)
2. Узагальнення за допомогою введення нових понять, правил, операцій, законів. (Введення понять конгруентності, рівновеликими, равнонаправленності, подібності фігур, понять симетрії та інше)
3. Узагальнення за допомогою аналізу сенсу деяких висловів, що виникають у ході розвитку науки. (В арифметиці - введене Ейлером визначення множення цілого числа на дріб через звернення до закону комутативності, у геометрії - запровадження поняття кута між перехресними прямими, між прямою і площиною, понять двогранного, багатогранного кута і ін)
4. Узагальнення як перенесення закономірностей, дійсних для однієї області, на нові предметні області. (Величини і числа, алгебраізація геометрії та ін)
5. Узагальнення через індукцію, тобто перехід від суджень, теорій, що мають приватне значення, до загальним закономірностям. (В арифметиці: кожне парне число можна представити у вигляді суми двох простих чисел; в геометрії: всі розглянуті в просторі фігури, що володіють властивістю симетрії, мають або нескінченне, або кінцеве непарне число осей симетрії та інше)
6. Узагальнення за допомогою об'єднання двох або кількох закономірностей в одну більш загальну закономірність. (Поняття про геометричні перетвореннях, композиції перетворень та ін.)
Розподіл узагальнень на емпіричні і теоретичні, здійснене С.Л. Рубінштейном і В.В. Давидовим, так само використовується в методиці викладання математики.
В основі емпіричного узагальнення лежить операція порівняння. Проводячи порівняння однієї групи предметів, учень виділяє їх зовнішні, однакові загальні властивості, позначає їх будь-яким словом, яке в результаті може стати поняттям про цю групу предметів.
С.Л. Рубінштейн [37] виділив дві характерні риси теоретичного узагальнення:
1) воно виконується при такому аналізі будь-якого одного конкретного факту (події, завдання), який виявляє внутрішній зв'язок його приватних проявів;
2) виходячи із знання зв'язку з цим, учень потім відразу може узагальнити всі інші факти (події, завдання) даного кола.
Якщо для емпіричного узагальнення характерно тривалий порівняння багатьох вихідних фактів для їх поступового узагальнення, то для теоретичного узагальнення цього не потрібно. Теоретичне узагальнення будується на рефлексії, яка полягає в розгляді учнями підстав власних дій та їх відповідності умовам завдання, і на аналізі змісту завдання з метою виділення принципу чи загального способу її вирішення.
Як прийомів узагальнення при навчанні рішенню завдань вчені виділяють відкидання обмежень, введення параметра, видозміна задачі, побудова «теорії в малому масштабі» і т.д.
Г.І. Саранцев вважає, що «використання узагальнення при вирішенні завдань грунтується на розширенні області зміни параметра, або на переході від даної множини до більш широкого безлічі, що містить дане. Перший напрямок переважно застосовується в алгебрі, друге - в геометрії »[38, с. 110]
Як прийом відкидання обмежень, можна розглядати узагальнення даних або шуканих завдання в різних проявах:
1) відкидання обмежень шляхом заміни числових даних або шуканих параметром;
2) відкидання обмежень шляхом узагальнення понять, які входять у зміст завдання;
3) відкидання обмежень на вимоги завдання, постановка більш загального питання;
4) відкидання обмежень шляхом введення більшої кількості елементів задачі;
5) відкидання обмежень щодо застосування (рішення конкретної задачі застосовується для цілого класу задач).
Цей прийом широко використовується при навчанні розв'язання математичних задач.
При узагальненні самі математичні задачі можна об'єднати в деякі множини. Наприклад, завдання, наведені до формування математичного поняття; задачі, що приводять до теореми; задачі, що приводять до методу рішення класу задач та інші. Від даного безлічі завдань здійснюється перехід до більш широкого безлічі, що містить дане.
Таким чином, немає загальноприйнятої класифікації видів узагальнення. У методиці викладання математики в основному використовуються класифікації педагогів і психологів. Основними прийомами узагальнення при вирішенні математичних завдань є відкидання обмежень і перехід від даного безлічі завдань до більш широкого, що містить дане.
1.3 Порівняння та аналіз - необхідні умови узагальнення
Обов'язковою умовою будь-якого узагальнення є порівняння. Як вже було зазначено, порівняння є основою емпіричних узагальнень. П.М. Ерднієв [43] під час навчання математиці на основі теорії укрупнення дидактичних одиниць надає великого значення основних форм порівняння: співставлення і протиставлення.
Аналіз же є основою теоретичних узагальнень.
На думку В.Г. Болтянською «аналіз являє собою найбільш складну, творчу стадію процесу вирішення задачі» [6, с. 35]. Саме в умінні аналізувати умову задачі, пошук рішення, саме рішення, отриманий результат виявляється узагальненість підходу до вирішення завдань.
«Узагальнення через аналіз є потужним засобом для виявлення істотних для вирішення даного завдання властивостей шляхом формування теоретичного мислення» вважає Ю.М. Колягін [23, с. 53]. Це справедливо, тому що, на думку психологів, невід'ємною ознакою теоретичного мислення є здатність до аналізу задачі, який розкриває внутрішній зв'язок, що лежить в основі багатьох приватних проявів цього завдання.
Часто учні з'ясовують метод розв'язання задач певного класу на основі аналізу однієї-двох завдань. При цьому здатні до математики школярі значну частину часу витрачають не стільки на аналіз умови задачі, скільки на аналіз вимоги. Завдяки такому аналізу вони можуть вирішувати одну й ту ж задачу різними способами. Перехід від одного способу до іншого, вільна орієнтація в матеріалі, свідчать про його узагальненості.
«Аналіз при вирішенні завдання включає в себе кілька складових: складові-структурну, функціональну, генетичну, які розкриваються в певній послідовності». [20, с. 61] Складовою-структурна складова аналізу припускає відповіді на питання: з яких елементів, підзадач, блоків утворена завдання? Що вони собою представляють? Оптимальний чи набір елементів? Ця складова полягає в тому, щоб з'ясувати внутрішню структуру, організацію завдання як системи, визначити спосіб, характер зв'язків та відносин елементів її складових. Функціональна - у розкритті механізму внутрішнього функціонування задачний системи. Генетична - у дослідженні походження завдання, процесу її формування і розвитку.
Дуже важливою при проведенні узагальнень є генетична складова аналізу. Адже набагато легше сприйняти знання, простеживши його виникнення, ніж ніж коли воно дано як факт.
Приклад 1. Задачу на обчислення площі трикутника подібного даним з відомою площею, якщо відомий коефіцієнт подібності можна узагальнити до класу задач на обчислення площі багатокутника подібного даним з відомою площею, якщо відомий коефіцієнт подібності. При цьому використовується формула відношення площ подібних трикутників:
Складовою-структурна складова проявляється в аналізі структури завдання та його вирішення.
За допомогою функціональної складової аналізу можна виділяти загальне не тільки в завданнях і їх рішеннях, але і в розумовій діяльності при вирішенні завдань. Д. Пойа у роботі «Як вирішувати проблему» [30] розробив методику вирішення завдань з математики, представивши її у вигляді таблиці рад вирішального математичну задачу. Поради носять організаційно-евристичний характер, спрямований на оптимальне стимулювання мислення до досягнення поставленої у задачі мети.
Таким чином, порівняння і аналіз є обов'язковими умовами якого узагальнення. Ефективність здійснення узагальнень залежить від уміння проводити аналіз задачі. При проведенні аналізу завдання, виявляється загальне як у завданнях і їх рішеннях, так і в розумовій діяльності.
1.4 Узагальнення по аналогії при навчанні рішенню завдань
«Випадки, в яких застосовна аналогія, невичерпні за своєю різноманітністю», - говорить Д. Пойа [32].
Аналогія є хорошим джерелом нових фактів і завдань.
Д.П. Горський стверджує, що аналогія необхідна для "одержання нового знання, щоб менш зрозуміле зробити більш зрозумілим, представити абстрактне в доступній формі, конкретизувати абстрактні ідеї». Так само аналогія може служити «засобом висунення нових гіпотез, бути методом вирішення завдань шляхом зведення їх до раніше вирішеним завданням і т.п.» [8, с. 14].
Узагальнення за аналогією використовуються для руху думки від спільності одних властивостей і відносин у порівнюваних предметів до спільності інших властивостей і відносин.
Часто аналогії ховаються в здаються відмінностях. Виявлення таких прихованих аналогій між закономірностями, які раніше розглядалися окремо і не вважалися зв'язковими, є «одним з найприємніших моментів математичного творчості» [35, с. 110]. Евристична цінність даного підходу полягає, в тому, що відбувається зближення різних, здавалося б спочатку віддалених, предметних областей математики.
Д. Пойа в книзі «Математика і правдоподібні міркування» розглядає використання аналогії при вирішенні завдань. Іноді можна майже копіювати рішення близькою, спорідненою завдання. У більш складних випадках аналогія може підказати напрямок, в якому слід продовжувати роботу з вирішення задачі. Аналогії корисні як у розумінні завдання та його вирішення, так і в знаходженні рішення. За допомогою аналогії можуть бути підказані або зроблені більш ясними загальний план або значні частини рішення.
Часто завдання, аналогічні за змістом, аналогічні і за методом рішення. Тому завдання, аналогічну за змістом даної, легко можна вирішити тим же методом, а рішення задачі, аналогічної даної, але більш загальної, може привести до відкриття нового спільного методу вирішення класу задач.
Д. Пойа пропонує наступний алгоритм, який може бути застосований для вирішення складних завдань: для початку слід виділити аналогічну, легшу задачу, вирішити її, потім переробити її рішення так, щоб воно могло служити в якості моделі для початкової завдання, і нарешті, домогтися рішення початкової завдання, дотримуючись щойно створеної моделі.
Розглянемо приклади 2 і 3:
Приклад 2. Знаючи боку а, b, з трикутника ABC, обчисліть радіус r 1 вневпісанной окружності, що стосується боку ВС і продовжень сторін АВ і АС.
Для задачі аналогічної більш загальної буде наступне завдання:
Приклад 3. Знаючи боку а, b, з трикутника ABC, обчислити радіус r вписаного кола.
Вирішення цього завдання раціонально розбити на окремі найпростіші «кроки», після чого аналогія буде легко помітна. Рішення вихідної задачі (приклад 2) можна отримати за аналогією з вирішенням завдання (приклад 3). Для цього достатньо провести аналогію на кожному «крок» рішення [3].
У математиці виділяються основні аналогії, які часто використовуються при навчанні рішенню завдань: аналогії між планіметрії та стереометрії, аналогії між числами і фігурами, аналогії між нескінченним і кінцевим, аналогії між природою і математикою [32].
Таким чином, аналогія має широке застосування при навчанні рішенню завдань. За допомогою аналогії здійснюється зв'язок планіметрії та стереометрії, чисел і фігур та інші. Часто для вирішення складного завдання зручно використовувати рішення більш простий аналогічної задачі. Так само аналогія може підказати напрямок, в якому слід продовжувати роботу з вирішення задачі, зробити більш ясними загальний план або значні частини рішення. Завдання, аналогічну даної за змістом, легко можна вирішити тим же методом. Рішення задачі, аналогічної даної, але більш загальної, може привести до відкриття нового спільного методу вирішення класу задач.
1.5 Індуктивні узагальнення при навчанні рішенню завдань
Індукція являє собою метод міркувань від приватного до загального, висновок укладення з приватних посилок [22]. Індуктивні узагальнення грають велику роль в отриманні узагальненого знання і є одним з важливих евристичних прийомів [3].
При знаходженні математичних закономірностей, при знаходженні способу вирішення різноманітних математичних завдань індуктивне узагальнення виявляється в умінні спостерігати і виявляти загальне. Метод міркувань, де після спостереження за серією окремих випадків формулюється загальна пропозиція, називається неповною індукцією.
Приклад 4. «Довести, що добуток трьох будь-яких послідовних натуральних чисел ділиться на 6» [43, с. 79].
1) Розглянемо серію окремих випадків:
1 * 2 * 3 = 6 (ділиться на 6)
2 * 3 * 4 = 24 (ділиться на 6)
3 * 4 * 5 = 60 (ділиться на 6)
2) Сформулюємо припущення: числа 6, 24, 60 діляться на 6, виходить твір трьох будь-яких послідовних натуральних чисел може ділитися на 6.
3) Випробуймо припущення для іншого окремого випадку: 13 * 14 * 15 = 2730 (= 455 * 6 тобто ділиться на 6).
Так як припущення підтвердилося, то можна сформулювати індуктивний висновок: твір трьох будь-яких послідовних натуральних чисел ділиться на 6.
4) Проведемо доказ припущення: нехай k - довільне натуральне число.
Можливі три випадки:
1. Перше число дорівнює 3 * k, тобто кратно трьом, тоді з двох наступних одне обов'язково парне. Значить, твір ділиться на 6.
2. Останнє число дорівнює 3 * k, тобто кратно трьом, тоді з двох попередніх одне обов'язково парне. Значить, твір ділиться на 6.
3. Середнє число дорівнює 3 * k.
Тоді: (3 * k - 1) * 3 * k * (3 * k + 1) = 3 * k * (9 * k 2 - 1)
Далі можливі два випадки:
k = 2 * p. Пропозиція доведено.
k = 2 * p + 1.
Маємо: 3 * k * (9 * k 2 - 1) = 3 * [9 * (2 * p +1) 2 - 1] * (2 * p + 1)
Так як множник у квадратних дужках - парне число, то весь твір ділиться на 6.
Таким чином, пропозиція доведено повністю: твір трьох будь-яких послідовних натуральних чисел ділиться на 6.
Д. Пойа стверджує, що індуктивне узагальнення може бути також методом розв'язування математичних завдань [32]. Розглядається найпростіший окремий випадок, коли завдання вирішується легко. Вирішивши це завдання, узагальнюють її на інший більш загальний, але все ж приватний випадок, використовуючи у вирішенні результат попередньої задачі. Так доходять до загальної даної задачі.
У процесі навчання математики індукція дуже тісно пов'язана з дедукцією. Особливо яскраво взаємозв'язок індукції та дедукції проглядається при вирішенні завдань методами повної і математичної індукції.
Іноді при повній індукції результат досягається в два етапи.
1. Виділення сприятливого окремого випадку - особливого випадку, простішого, ніж загальний. Рішення цього приватного випадку;
2. Об'єднання окремих випадків, до яких вживано обмежене рішення. Отримання повного рішення для загального випадку.
Математична індукція застосовується з метою встановлення істинності математичної теореми в нескінченній послідовності випадків.
Приклад 5. Доведемо, що для всіх натуральних n істинна формула
1) При n = 1 формула вірна:
2) Припустимо, що формула вірна для n = k.
3) Доведемо, що формула вірна для n = k +1, тобто
Це вірно, так як
4) На підставі принципу математичної індукції зробимо висновок: формула вірна для всіх натуральних п.
Таким чином, індуктивні узагальнення є евристичним прийомом у навчанні вирішення завдань. Індуктивні узагальнення використовуються у відкритті математичних закономірностей, при виведенні методу розв'язання задач. При вирішенні завдань індукція пов'язана з дедукцією. Особливо це проявляється при вирішенні завдань методом повної індукції та методом математичної індукції.
Висновок по першому розділі.
У своїй роботі під узагальненням будемо розуміти перехід від одиничного до загального, від менш загального до більш загального за рахунок виділення загальних істотних властивостей або відносин.
Роль узагальнення при навчанні розв'язання математичних задач полягає в розширенні і поглибленні знань, їх систематизації; у формуванні та розвитку мотивації до вивчення математики; посилення внутріпредметних зв'язків, розвитку творчого мислення та пізнавального інтересу в процесі навчання. Узагальнення може використовуватися як метод розв'язання, як засіб виведення методу розв'язання задачі, при складанні нових завдань.
У методиці викладання математики немає загальноприйнятої класифікації видів узагальнень. Як прийомів узагальнень при навчанні рішенню завдань виділяють відкидання обмежень, введення параметра, видозміна завдання.
Порівняння і аналіз є обов'язковими умовами якого узагальнення. Ефективність здійснення узагальнень залежить від уміння проводити аналіз задачі.
Часто для вирішення складного завдання зручно використовувати рішення більш простий аналогічної задачі. Завдання, аналогічну даної за змістом, легко можна вирішити тим же методом. Рішення задачі, аналогічної даної, але більш загальної, може привести до відкриття нового спільного методу вирішення класу задач.
Індуктивні узагальнення використовуються у відкритті математичних закономірностей, при виведенні методу розв'язання задач.
2. Методичні рекомендації здійснення узагальнень на уроках математики при навчанні рішенню завдань
Використання теоретичних основ узагальнень буде представлено в методичних рекомендаціях здійснення узагальнень на уроках математики при навчанні рішенню завдань.
При навчанні школярів рішенню завдань можна виділити такі узагальнення:
1. Узагальнення при навчанні методам розв'язування математичних задач.
2. Узагальнення як метод розв'язання математичних задач.
3. Узагальнення як джерело нових математичних задач.
4. Узагальнення завдань ведуть до формування математичних понять і теорем.
Так само необхідно виділити використання таблиць як засобу узагальнення при навчанні розв'язання математичних задач.
2.1 Узагальнення при навчанні методам розв'язування математичних задач
Важливу роль при навчанні методам вирішення завдань відіграють індуктивні узагальнення. З їх допомогою здійснюється перехід від одних методів вирішення завдань до інших, більш загальним, які можна застосувати до розв'язання широкого класу задач. Також індуктивні узагальнення підходів до вирішення завдань дозволяють створити систему рад евристики - організаційного характеру.
У навчанні методам розв'язування математичних задач можна виділити наступні індуктивні узагальнення:
1) індуктивні узагальнення способів рішень конкретних завдань до методу розв'язання класу задач;
2) індуктивні узагальнення методів вирішення завдань;
3) узагальнення та систематизації способів пошуку рішень багатьох завдань до системи рад вирішального математичну задачу.
Розглянемо їх докладно.
2.1.1 Узагальнення способів вирішення конкретних завдань до методу розв'язання класу задач
Рішення конкретного завдання часто може призвести до методу рішення класу задач. Таким чином здійснюється узагальнення способу розв'язання конкретного завдання до методу розв'язання класу задач.
Вибирається конкретне завдання, її рішення записується в таблицю, що складається з двох стовпців (табл. 1). У лівому стовпчику - рішення конкретної задачі, у правому - рішення узагальненої задачі.
Приклад 6. Знайти число, 2% якого дорівнює 12.
Табл. 1
| Рішення конкретного завдання | Рішення узагальненої задачі |
| Знайти число, 2% якого дорівнюють 12 | Знайти число, якщо відомий відсоток і його значення. |
| 1. Знайдемо скільки становить один відсоток від числа. для цього: 12:2 = 6 | 1. Знаходження числа, яке припадає на один відсоток заданого числа. |
| 2.Так як всі число становить 100%, множимо число, отримане на один відсоток на 100: 6 * 100 = 600 | 2. Множення отриманого числа на 100. |
| Отже, число дорівнює 600 | 6. Запис відповіді |
Спеціалізація методу розв'язання задач на відшукання числа, якщо відомий відсоток і його значення дозволяє вирішувати всі завдання цього класу.
Приклад 7. Фабрика випускає калькулятори партіями. Шлюб в кожній партії зазвичай буває 9 калькуляторів, що становить 2% від загальної кількості. Скільки калькуляторів в одній партії?
Так само узагальнення може здійснюватися шляхом абстрагування від конкретних сюжетів кількох завдань та побудови загальної математичної моделі для різних за фабулою завдань. Математична модель завдання виробляється перекладом реально відбуваються в дійсності процесів і явищ на мову математики і дозволяє показати застосування математики як інструмента для математизації реальних практичних ситуацій. Таким чином, моделювання є узагальненням кількох завдань та методом вирішення різних класів задач.
Приклад 8. Клоун на ходулях хоче показати майстер - клас і обійти всю арену по краях за 5 кроків і повернутися у вихідне місце, при цьому для краси кроки мають бути однакові. Допоможіть клоуну, вказавши йому шлях по арені.
Приклад 9. 5 рятувальників натягують батут круглої форми для спасіння людини. Як краще рятувальникам тримати батут, щоб натяг був найкращим.
Порівняння та аналіз геометричних моделей цих завдань призводять до висновку: завдання, незважаючи на відмінність формулювань, мають однакові геометричні моделі.
Абстрагуючись від конкретних фабул завдань, формулюють узагальнену задачу: в коло вписати правильний п'ятикутник.
Зрозуміти, що для вирішення завдання необхідно лише вписати правильний п'ятикутник в коло, ми змогли тоді, коли побудували геометричну модель задачі. Рішення узагальненої задачі дозволяє також вирішувати всі завдання такого типу.
Узагальнення застосовується при переході від конкретних завдань до загальних моделями їх вирішення, а потім до методу вирішення класу аналогічних завдань.
Приклад 10: вивчення пропорційних залежностей величин у 7 класі: швидкість, час, відстань (
Так само поширене узагальнення вирішення різних конкретних завдань до методу розв'язання класу задач.
Приклад 11. Введення методу побудови допоміжних трикутників, який дозволяє протягом вивчення всього курсу геометрії вирішувати багато завдань на побудову єдиним підходом, хоча вони можуть бути і різного змісту.
Суть методу - побудова допоміжних трикутників і використання їх властивостей і знову отриманих елементів для остаточного вирішення задачі [18].
Дані зручно представити у вигляді таблиці. [Додаток 8]
На аналізі побудова трьох завдань можна вивести загальний метод побудови всіх задач такого класу, який записується в останній рядок таблиці. При такому підході учні чітко розрізняють етапи методу.
2.1.2 Узагальнення методів вирішення завдань
При вивченні методів розв'язування математичних задач індуктивні узагальнення можуть здійснюватися таким чином:
1) узагальнення та систематизація способів вирішення конкретних завдань до методів розв'язання класу задач;
2) узагальнення та систематизація методів розв'язання класу задач.
Для систематизації знань учнів, набутих під час вирішення конкретних завдань, корисно робити узагальнення рішень до методу розв'язання класу задач.
Приклад 12: узагальнення та систематизація методів розв'язання задач про довжині кола і площі круга.
Після вирішення ряду завдань із застосуванням формул довжини кола і площі круга в 9 класі на уроці геометрії можна провести з учнями узагальнюючу бесіду.
Основними при вивченні теми «довжина кола і площа круга» є шість об'єктів: R - радіус, С - довжина кола, S - площа кола, кут з градусної мірою
У бесіді слід відзначити, що формула довжини дуги це узагальнений випадок формули довжини кола, тобто коли кут дорівнює 360 0. Аналогічне узагальнення можна провести і з формулою площі кола до формули площі сектора. Тоді кількість об'єктів зменшиться з шести до чотирьох і можна розглянути два основних співвідношення між ними:
Якщо задані два компоненти з чотирьох, то дві залишилися можуть бути обчислені. Таким чином, можливі типи завдань визначаються даними: 1) L,
Якщо ж мова йде про довжину кола і площі круга, то кількість типів завдань зменшується. Доцільно провести спеціалізацію і розглянути цей випадок. Узагальнення показує взаємозв'язок знаходження довжини кола і довжини дуги кола, площі кола і площі сектора, так як такі громіздкі формули погано запам'ятовуються учнями.
Такі узагальнення дозволяють виявити зв'язку досліджуваного з вивченим раніше і сформувати як загальні методи розв'язання класів задач, так і систему методів вирішення завдань.
Індуктивні узагальнення методів рішень завдань, а так само їх систематизація призводять до формування системи рад вирішального математичну задачу.
2.1.3 Узагальнення способів пошуку вирішення багатьох завдань до системи рад
У процесі виконання завдання діяльність учня спрямована на розуміння завдання, здійснення пошуку її вирішення. Таким чином, вона спрямована на усвідомлення, систематизацію та з'ясування тієї інформації, яка є явною в задачі.
Поради при вирішенні різних завдань повинні володіти спільністю, повинні бути природні і прості.
Всі поради можна розділити на чотири групи, які відповідають чотирьом етапам розв'язку задачі: засвоєння змісту завдання; складання плану виконання завдання; реалізація плану виконання завдання; аналіз та перевірка правильності рішення [30]. На першому етапі діяльності метою є досягнення усвідомленого розуміння словесної формулювання завдання. Погляд на один і той же факт або об'єкт завдання з різних сторін допомагає оцінити зв'язок об'єкта завдання з іншими даними або зовнішньою інформацією. На другому етапі мають бути встановлені зв'язки різних об'єктів у задачі і виявлено зв'язок з зовнішньою інформацією, з раніше придбаним досвідом. Учень повинен уважно, багато разів та з різних сторін розглянути всі компоненти завдання, їх внутрішні та зовнішні зв'язки і здійснити складання плану виконання завдання. На третьому етапі здійснюється сам план виконання завдання, на четвертому - дослідження отриманого рішення.
Такі етапи допомагають направити хід думок у потрібному напрямку для досягнення поставленої у задачі мети. Розглянемо докладно систему рад, наприклад, для складання плану виконання завдання.
Це другий етап вирішення завдання, настає, коли учень вникнув у зміст завдання, ввів всі позначення, за необхідності зробив креслення.
Для складання вірного плану виконання завдання необхідна підготовка.
А). Для початку слід з'ясувати, чи відома будь-яка родинна завдання? Аналогічна задача?
Приклад 12. За одне і те ж час велосипедист проїхав 4 км, а мотоцикліст - 10 км. Швидкість мотоцикліста на 18 км / ч більше швидкості велосипедиста. Знайдіть швидкість велосипедиста.
Приклад 13. Човен за одне й те же час може проплисти 36 км за течією річки або 20 км проти течії. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки 2 км / год [17].
Завдання аналогічні за планом рішення. В обох для рішення необхідно скласти відносини відстаней до швидкостей і прирівняти. Загальна формула виглядає наступним чином:
Б). Подумати, чи відома завдання, до якої можна звести вирішувану?
Приклад 14. Відрізки, кінцями яких служать внутрішні точки протилежних сторін квадрата, перпендикулярні. Доведіть, що ці відрізки рівні [38].
Рішення задачі спрощується, якщо задана пара взаємно перпендикулярних прямих буде проходити через центр квадрата. Довівши рівність відрізків в цьому випадку, основна задача легко вирішується використанням ознак паралельності та визначення квадрата. Таким чином завдання можна звести до наступної: Відрізки, кінцями яких служать внутрішні точки протилежних сторін квадрата, перпендикулярні і перетинаються в центрі квадрата. Доведіть, що ці відрізки рівні.
В). Якщо родинна завдання невідома і звести цю задачу до якої-небудь відомої задачі не вдається, то варто скористатися порадою: «Спробуйте сформулювати завдання інакше». При переформулювання завдання або користуються визначеннями даних в ній математичних понять (замінюють терміни їх визначеннями), або їх ознаками (точніше сказати, достатніми умовами).
Для швидкого і більш легкого перебування плану
рішення даної задачі, зручно до поняття «правильний
|
«В правильному шестикутнику».
Тоді завдання набуде вигляду: Знайти периметр правильного шестикутника
A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6, в якому відрізки, що з'єднують його центр з вершинами рівні сторонам правильного шестикутника, якщо A 1 A 4 = 2,24 см.
Тоді, дивлячись на малюнок 1, стає ясний план виконання завдання.
Г). Так само, складаючи план виконання завдання, слід поставити собі питання: «чи всі дані завдання використані?» Виявлення необлікованих даних завдання полегшує складання плану її вирішення. Можливо, є «приховані» дані.
Приклад 16. Знайти діагональ прямокутного паралелепіпеда, довжина а, ширина b, висота h якого відомі [30].
Так може статися, що учень, знаючи теорему Піфагора, знайде діагональ грані:
Д). Іноді корисно слідувати пораді «Спробуйте перетворити шукані або дані». При цьому дані перетворять так, щоб вони наблизилися до шуканим.
Приклад 17. Побудуйте трикутник, рівновеликий даному чотирикутнику [38].
При знаходженні рішення даного завдання слід для початку перетворити чотирикутник до паралелограма, так як формули площ трикутника і паралелограма подібні між собою.
Е). Якщо слідуючи попереднім радам, вам не вдалося скласти план рішення, то можна скористатися такою порадою: «спробуйте вирішити лише частину завдання», тобто спробуйте задовольнити лише частини умов, з тим, щоб далі шукати спосіб задовольнити решти умов завдання. Цю пораду можна розширити, розвинути до ради: «розчленувати завдання на більш прості завдання».
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 2 |
Приклад 18. У трикутнику ABC медіани AA 1, BB 1, CC 1 присікаються в точці M. Точки A 2, B 2, C 2 є відповідно серединами відрізків AM, BM, CM. Доведіть, що
Дане завдання вирішується із застосуванням центральної симетрії,
яка явно не видно (рис. 2). Тоді варто розбити задачу на етапи:
1) встановити взаєморозташування точок A 1, B 1, C 1 і A 2, B 2, C 2;
2) знайти центр симетрії; 3) визначити центральну симетрію.
Ж) У складанні плану виконання завдання може допомогти відповідь на запитання: «Для якого окремого випадку можливо досить швидко вирішити це завдання?». Відшукавши окремий випадок, можна скористатися рішенням завдання в знайденому окремому випадку для більш загального (але, можливо, не самого загального) випадку. Так можна поступити, поступово узагальнюючи завдання до вихідної, розв'язуваної задачі. Порада: «Розгляньте окремі випадки задачний ситуації, вирішите задачу для якого-небудь окремого випадку, застосуйте індуктивні міркування».
3). Іноді вирішення завдання виявляється простіше, якщо сформулювати і вирішити завдання спочатку більш загальну, а потім з її допомогою вирішити це завдання. Порада: «Спробуйте сформулювати і вирішити більш загальну задачу».
Евристика-організаційні поради для розв'язання задачі можна оформити у вигляді таблиці. [20] [Додаток 9]
Таким чином, за допомогою індуктивних узагальнень при вирішенні математичних завдань можна вивести нові методи вирішення завдань, перейти від одних методів розв'язання задач до більш загальним. Так само індуктивні узагальнення підходів до вирішення завдання їх систематизація допомагають у створенні системи рад, корисних у процесі відшукання рішення задачі.
2.2 Узагальнення як метод розв'язання математичних задач
Узагальнення як метод рішення може здійснюватися:
1. Рішення завдання «по індукції»;
2. Рішення завдання у «спільному» вигляді.
2.2.1 Узагальнення «по індукції»
Метод рішення задачі «по індукції» заснований на повній або теоретичної індукції.
Узагальнення як метод рішення здійснюється за наступною схемою:
1. Виділити окреме питання завдання, для якого завдання вирішується легко і вирішити завдання для цього окремого випадку;
2. Розглянути більш загальний, але все ж приватний випадок, що містить перший;
3. Розглянути загальний випадок.
Часто рішення завдань «по індукції» включає в себе тільки перший і третій пункти з вишепредложеной схеми.
Приклад 19. У чотирикутнику дві сторони AD і BC не паралельні. Що більше: полусумма цих сторін або відрізок (MN), що з'єднує середини двох інших сторін чотирикутника (рис. 3а)? [3]
|
|
|
Рис. 3
1) Виділимо для початку окремий випадок, який можна легко вирішити. У даному випадку буде зручно, якщо одну зі сторін чотирикутника стягнути в точку (рис. 3б). Тоді нехай BC стягується в точку В. У такому положенні точка N збігається з серединою До відрізка BD, і MN стає середньою лінією MK трикутника ABD. Таким чином вихідна задача зводиться до наступної: що більше, половина боку AD трикутника ABD або відрізок MK, що з'єднує середини двох інших сторін.
За визначенням середньої лінії трикутника відповідь очевидна: MK =
2) Тепер розглянемо загальний випадок (Мал. 3в). Завдання буде легко вирішена, якщо його звести до вже вирішену окремого випадку. Нехай K - середина діагоналі BD чотирикутника ABCD. З розглянутого окремого випадку маємо: у трикутнику ABD MK =
Отже, ми довели, що полусумма сторін AD і BC чотирикутника ABCD більше ніж відрізок (MN), що з'єднує середини двох інших сторін.
Кожного разу при вирішенні загальної задачі використовується результат рішення попередньої приватної завдання. Такий окремий випадок Д. Пойа називає провідним [30].
Розглянемо використання різних приватних випадків при вирішенні завдань.
Приклад 20. Дана коло радіуса R. З точки A, що лежить поза кола та віддаленої від центру O на відстані а, проведена січна. Точки B, C її перетину з колом з'єднані з центром О. Нехай
|
| ||||||
| |||||||
Так як потрібно знайти величину tg
Узагальнення «по індукції» вдало підходить для виведення площ поверхонь многогранників.
Приклад 21. Вивести формулу бічної поверхні правильної n-вугільної призми.
Спочатку можна вивести формулу площі бічної поверхні прямої правильної трикутної призми.
Далі узагальнюємо завдання до виведення формули площі бічної поверхні прямої правильної n-вугільної призми.
Іноді під час вирішення завдання необхідно розглянути кілька варіантів, вичерпних всі приватні випадки, про що прямо в задачі не сказано. Тоді метод буде мати дещо іншу схему міркувань:
1) виділити всі варіанти окремих випадків ситуації, описаної в задачі або створилася при її вирішенні;
2) вирішити завдання для кожного варіанта;
3) об'єднати вирішення всіх варіантів.
Часто цей метод називають методом вичерпних проб. Застосування методу можливо при кінцевому числі варіантів.
Приклад 22. Знайти всі чотиризначні числа, що задовольняють умовам: сума цифр дорівнює 11, саме число ділиться на 11.
Позначимо шукане число: abcd = 10 3 * a +10 2 * b +10 * c + d.
Запишемо умови задачі у систему:
Друге рівняння системи висловлює подільність шуканого числа на 11. Перетворивши систему, одержимо рівняння: 2 * (a + c) = 11 * (k +1), причому k
Тоді можливі три випадки:
1) k =- 1, тоді a + c = 0, тоді a = 0, що суперечить умові (число чотиризначне).
2) k = 0, тоді 2 * (a + c) = 11, чого не може бути.
3) k = 1, тоді a + c = 11, b = 0, d = 0 і всі значення a і з можна записати в таблицю 2:
Табл. 2
| a | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| c | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 |
Таким чином, щоб застосовувати узагальнення як метод розв'язання задачі «по індукції», потрібно вміти виділяти приватні в випадки завданню.
2.2.2 Рішення задач «в загальному вигляді»
Необхідно навчати школярів рішенню завдань «загалом» вигляді, так як рішення задачі «загалом» вигляді часто може виявитися доступнішими, легше, раціональніше, ніж рішення конкретного завдання. Так само узагальнена формулювання завдання допомагає засвоєнню математичної сутності конкретних завдань і дозволяє знайти спосіб розв'язання вихідної задачі. До більш загальної задачі можуть бути застосовні методи, які не застосовні до вихідної завданню.
Узагальнена задача іноді підказує новий спосіб вирішення.
Приклад 23. Обчислити | a | - 2 * | a | + 9 * | a | дві +35 * | a | 5 -21 * | a | 3 -5 * | a | 4 при a рівних -2; 1.
Так як модуль розкривається в залежності від того, який знак має подмодульное вираз, то узагальненням завдання може бути наступне завдання: Знайти значення виразу F (a), якщо a <0; a> = 0.
Узагальнена задача допомагає прояснити суть конкретних завдань. При a <0 учні зрозуміють суть розкриття модуля з негативним знаком, при a> = 0 з позитивним.
Іноді завдання зручніше вирішувати сформулювавши її в загальному вигляді.
Приклад 24. Дано правильний октаедр і пряма займають у просторі фіксоване положення. Знайти площину, що проходить через дану пряму і ділить октаедр на дві рівновеликі частини [30].
Це завдання може здатися складною, тому раціональніше її сформулювати в загальному вигляді, використовуючи знання про правильне октаедрі: «Дано замкнута поверхня, що володіє центром симетрії, і пряма займають у просторі фіксоване положення. Знайти площину, що проходить через дану пряму і ділить об'єм тіла, обмеженого даної поверхнею, на дві рівновеликі частини ». Бажаєма площину повинна проходити через центр симетрії поверхні і визначатися цією точкою і даної прямої. Так як октаедр має центром симетрії, тим самим первинне завдання виявляється знайденої.
Так само слід використовувати рішення задачі в «загальному вигляді» і в завданнях з конкретними значеннями, але вирішення яких громіздкі. Рішення завдання у «спільному» вигляді з подальшою підстановкою числових даних часто дозволяє краще переглянути план виконання завдання, скоротити запису, затратити менше часу на обчислення.
Таким чином, при використанні узагальнення як методу розв'язання задач необхідно вміти виділяти окремі випадки. Так само корисно навчати школярів вирішення завдань у загальному вигляді, так як часто узагальнену завдання вирішити легше, ніж конкретне завдання.
2.3 Узагальнення як джерело нових математичних задач
Узагальнення при навчанні розв'язання математичних задач можуть сприяти виникненню нових завдань. Нові завдання можуть з'явитися як при дослідженні конкретної задачі та її рішення, так і при дослідженні узагальненої задачі та її рішення.
До виникнення нової узагальненої задачі можуть призвести індуктивні узагальнення. Зворотна операція - спеціалізація, дозволяє від узагальненої завдання перейти до конкретних завдань.
Так само за допомогою узагальнень за аналогією з одного конкретного завдання отримують нові конкретні завдання, з узагальненої завдання - нові узагальнені задачі.
Отримання нових завдань важливо тим, що при складанні завдань учні засвоюють структуру задачі, взаємозв'язок даних, даних і шуканих, виявляють внутрішній зв'язок між завданнями.
Для того щоб отримати нові завдання за допомогою узагальнень, використовують такі прийоми:
1) узагальнення даних при збереженні шуканих;
2) узагальнення (додавання) шуканих при збереженні даних;
3) узагальнення даних і шуканих.
Розглянемо докладніше ці прийоми.
2.3.1 Узагальнення даних при збереженні шуканих
Заміна одних даних (або частини даних) іншими при збереженні шуканих призводить до застосування різноманітних прийомів і методів рішення, здавалося б, близьких за змістом завдань. При цьому може застосовуватися не один прийом, а широкий спектр методів.
Зміною умови задачі при збереженні вимоги може бути: заміна даних більш загальними; заміна одних відносин між об'єктами завдання іншими.
Заміна числових даних завдання параметром часто призводить до узагальненої задачі. Спеціалізація узагальненої задачі допомагає отримати цілий клас аналогічних завдань. Конкретні числові дані можна замінювати літерами не всі відразу, а послідовно.
Приклад 25. "Знайти, якщо сторона нижньої основи дорівнює 10 м, сторона верхнього 5 м і висота піраміди 6 м» [30].
Якщо числа 10, 5, 6 замінити літерами, наприклад а, b, h, отримаємо узагальнену завдань: «Знайти об'єм зрізаної піраміди з квадратною основою, якщо сторона нижньої основи дорівнює a, сторона верхнього b і висота піраміди h». Перейшовши від завдання «в числах» до задачі «в буквах», ми сприймаємо дані величини як змінні.
Узагальнена задача дає можливість скласти і вирішити ще декілька типів завдань, у яких одна з величин є шуканої, а решта - даними.
До появи нових завдань так само призводить узагальнення понять, даних в задачі.
Приклад 26. Знайти діагональ куба, якщо дані три його вимірювання (довжина, ширина і висота).
Узагальнивши поняття куба до поняття прямокутного паралелепіпеда, отримаємо нове завдання:
Приклад 27. Знайти діагональ прямокутного паралелепіпеда, якщо дані три його вимірювання (довжина, ширина і висота).
Заміна одних відносин між об'єктами завдання іншими теж може призвести до появи нових завдань.
Приклад 28. Як зміниться приватне двох чисел якщо ділене збільшити в три рази?
Можна дослідити цю задачу і отримати нові, розмірковуючи, що станеться з приватним, якщо ділене збільшити в 3 рази, зменшити в 3 рази, якщо змінити дільник, якщо змінити одночасно ділене і дільник? Виникає ціла серія завдань, породжених даним завданням, які можна записати в таблицю 3.
Табл. 3
| Умова задачі | Питання завдання |
| • Якщо ділене збільшити в 3 рази • Якщо ділене зменшити в 3 рази • Якщо дільник збільшити в 3 рази • Якщо дільник зменшити в 3 рази • Якщо ділене і дільник збільшити в 3 рази • Якщо ділене збільшити, а дільник зменшити в 3 рази • Якщо ділене зменшити, а дільник збільшити в 3 рази • Якщо ділене і дільник зменшити в 3 рази | Як зміниться різниця? |
Змінюючи відносини між даними завдання, роблячи їх більш загальними так само можна отримати нові завдання.
Приклад 29. Довести, що сума відстаней, від точки перетину медіан правильного трикутника до його сторін постійна.
Від цього завдання можна перейти до наступної:
Приклад 30. Довести, що сума відстаней, від точки взятої довільно всередині правильного трикутника до його сторін постійна.
2.3.2 Узагальнення (додавання шуканих) при збереженні даних
Нова математична задача може бути отримана за допомогою зміни вимоги завдання при збереженні умови: додавання нових висновків; узагальнення шуканих.
У більшості випадків в задачі зустрічається лише одне питання, один висновок, але міститься в задачі інформація іноді дозволяє зробити й інші висновки (відповісти на інші питання, зробити інші висновки), тобто додати нові висновки при збереженні даних.
Приклад 31. Дано дві прямі a і b. Довести, що будь-яка пряма, що перетинає пряму a, перетинає і пряму b, то прямі a і b паралельні. [1]
Спочатку потрібно довести паралельність прямих a і b. Тоді пряма, що перетинає a буде не тільки перетинати пряму b, але і мати властивості над цими прямими: їх навхрест лежачі, відповідні і кути будуть рівні, а сума односторонніх буде дорівнює 180 0. Тому можна сформулювати більш загальну задачу.
Приклад 32. Дано дві прямі a і b. Довести, що будь-яка пряма, що перетинає пряму a, перетинає і пряму b, то прямі a і b паралельні, їх навхрест лежачі, відповідні і кути будуть рівні, а сума односторонніх буде дорівнює 180 0.
Завдання, які привчають учнів розглядати всілякі укладення з даних посилок, що буває необхідно при вирішенні багатьох завдань на доказ, при доведені різних теорем, іноді називають завданнями «без питань». На основі вирішення таких завдань зручно розглядати узагальнення про шуканих в задачі.
Приклад 33. Дана прямокутна призма, в основі якої трапеція. Встановіть всілякі взаєморозташування прямих, що містять ребра даної призми.
знаходитися в трьох положеннях: бути паралельні,
перетинатися, бути перехресними. Учні, знаходячи
|
2.3.3 Узагальнення даних і шуканих
Нерідко узагальнення даних завдання призводить до узагальнення шуканих.
Так, узагальнення понять, в умові завдання може призвести до узагальнення питання задачі. Таким чином, теорема косинусів є узагальненням теореми Піфагора.
Приклад 34. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Приклад 35. У довільному трикутнику квадрат боку дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєне твір цих сторін на косинус кута між ними.
Узагальнення даних і шуканих задачі до параметра так само призводить до складання нових завдань. Наприклад, знаючи, що правильний трикутник визначається будь-яким елементом, можна скласти завдання, що зв'язують між собою елементи правильного трикутника: сторони, медіани, радіуси вписаної і описаної кіл.
Таким чином, ми показали як узагальнення при навчанні розв'язання математичних завдань призводять до виникнення нових завдань. Це відбувається в результаті дослідження задач і їх рішень, а так само досліджень узагальнених задач і їх рішень. Використовуючи узагальнення і спеціалізацію, учні можуть самі складати нові завдання, здійснюючи заміну частини даних іншими при збереженні шуканих, додаючи нові висновки або узагальнюючи шукані.
2.4 Узагальнення завдань ведуть до формування понять і теорем
За допомогою узагальнень можна здійснювати введення понять і теорем. При цьому відбувається мотивація введення понять і теорем, учні самі усвідомлюють, як отримали і для чого потрібно нове знання, визначають його місце в системі інших понять чи теорем, і легко застосовують його при вирішенні різних завдань.
При формуванні понять розрізняють узагальнення: 1) від конкретних прикладів до математичного поняття, 2) самих математичних понять.
До визначення поняття часто призводить узагальнення конкретних прикладів.
Приклад 36. Визначення середньої лінії трикутника, в основному, в підручниках геометрії вводиться дедуктивно. При цьому більшість учнів погано засвоюють визначення середньої лінії трикутника або плутають його з теоремою про середню лінії трикутника.
Дане визначення можна ввести, виділивши відмітна властивість середньої лінії трикутника: з'єднання середин двох сторін трикутника.
Формування поняття відбувається у три етапи:
1) Виділення загального властивості у класу прикладів. Дивлячись на малюнок 6, доречно поставити питання учням: якими загальними властивостями володіє лінія
MN на малюнку?
|
При такому узагальненні учні аналізують малюнки, знаходять у них загальна властивість, яке зберігається у всіх даних малюнках: MN з'єднує середини двох сторін трикутника. Це властивість включається у визначення середньої лінії трикутника: середньою лінією трикутника називається відрізок, що з'єднує середини двох його сторін.
2) Здійснення спеціалізації на наступному прикладі (рис. 7).
Необхідно знайти середні лінії.
4)
|
визначення поняття необхідно привести контрприклади, об'єкти, які до досліджуваному поняттю не відносяться (рис. 8).
|
Таким чином сформована поняття чітко усвідомлюється учнями, а виділене властивість і наведені контрприклади допоможуть швидко відрізняти його від інших.
При узагальнення планіметрії до стереометрії відбувається більшість переходів від одних понять до інших, більш загальним.
Приклад 37. Узагальнення паралельності прямих на площині до паралельності прямих у просторі може здійснюватися так: згадати визначення паралельності прямих на площині: «Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються»; розглянути дві прямі у просторі. В результаті бесіди приходимо до висновку, що для визначення паралельності двох прямих у просторі, необхідно, щоб вони належали одній площині; узагальнити визначення паралельності прямих на площині до визначення паралельності прямих у просторі: «Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони належать одній площині і не перетинаються ».
За таким же принципом відбувається узагальнення квадрата до куба, площі паралелограма до обсягу паралелепіпеда, та інші.
Індуктивні узагальнення при вивченні теорем так само необхідні.
В основі будь-теореми лежить завдання на доказ. Тому здійснення узагальнень при вирішенні завдань на доказ дозволяють учням побачити виникнення теореми, методу її докази, встановити зв'язок між різними теоремами, сформулювати нові, систематизувати теореми й методи докази. Це полегшує проведення мотивації при введенні теорем, призводить до свідомого сприйняття ідей докази, до розуміння і засвоєння змісту теореми, розумного застосування теореми для вирішення завдань.
Індуктивні узагальнення при вирішенні завдань на доказ можна розділити на:
1) узагальнення конкретних завдань до формулювання теореми;
2) узагальнення теорем.
Індуктивне узагальнення конкретних завдань до теореми полягає в тому, що в результаті порівняння та аналізу рішення кількох конкретних завдань можна висунути гіпотезу для загального випадку і виведення теореми.
Приклад 38. Довести, що у чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180 0, то біля цього чотирикутника можна описати коло.
Завдання можна узагальнити до формулювання теореми:
«У будь-якому вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180 0».
Можливо узагальнення самих теорем до більш загальних. Будь-яка доведена теорема стає початком для відкриття нових фактів і співвідношень, доказів нових теорем, тобто входить до їх докази.
Наприклад, теорема про паралельності прямої і площини у просторі узагальнюється до теореми про паралельність трьох прямих у просторі, яка може бути узагальнена до ознаки паралельності двох площин.
За таких узагальненнях розширюється безліч об'єктів, до яких застосовні розглянуті властивості і часто зберігаються методи докази.
Так само самі теореми є узагальненнями раніше відомих. Для з'єднання знань в систему необхідно проводити узагальнення теорем і показувати переходи від одних теорем до інших.
Так, узагальнюючи теорему «площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів», відкинемо обмеження, що трикутник прямокутний і отримаємо теорему «Площа довільного трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними».
Від теореми «Середини сторін опуклого чотирикутника є вершинами паралелограма» можна перейти до теореми «Точки, що ділять боку чотирикутника в одному і тому ж відношенні (з'єднані певним чином) є вершинами паралелограма», а можна перейти до теореми стереометрії: «Середини сторін просторового чотирикутника є вершинами паралелограма ».
Таким чином, узагальнення при формуванні понять і введення теорем дуже корисно. Узагальнення знання від конкретних завдань до поняття і від завдань на доказ до доведення теорем допомагає проведенню мотивації введення понять і теорем, застосування їх при вирішенні різних завдань.
2.5 Таблиці як засіб узагальнення при навчанні розв'язання математичних задач
При навчанні розв'язання математичних задач зручно проводити узагальнення, коли інформація представлена в таблицях. Такі таблиці будемо називати узагальнюючими.
Узагальнюючі таблиці служать для проведення порівняння і аналізу математичних задач і їх рішень, при систематизації способів і методів вирішення завдань, при складанні системи рад для пошуку вирішення завдань, при виведенні понять і узагальненні матеріалу, використовуваного при вирішенні завдань.
При виведенні методу розв'язання задач зручно рішення по етапах записувати в таблицю. При цьому таблиця буде складатися з двох стовпців: у першому - рішення конкретної задачі, у другому - загальний метод рішення або алгоритм методу розв'язання задач такого класу.
Для більш глибокого розуміння методу розв'язання задачі дуже ефективно додаток таблиці ще одним стовпцем, в якому показана спеціалізація методу на ще одній конкретній задачі.
Приклад 39. Загальний алгоритм застосування методу координат до розв'язання математичних задач можна вивести, провівши аналіз рішення задачі, до якої можна застосовувати цей метод. Метод полягає у введенні прямокутної системи координат і запису умови задачі у координатах, після чого рішення завдання легко провести за допомогою алгебраїчних обчислень. Необхідно крок за кроком розписати рішення задачі в першому стовпці і записати узагальнений алгоритм рішення у другому стовпці [Додаток 10].
Так рішення конкретної задачі приводить до висновку загального алгоритму розв'язання класу задач методом координат:
1. Вивчити умову задачі, ввести прямокутну систему координат так, щоб одна з точок фігури була центром, і хоча б одна сторона лежала на який-небудь осі.
2. Окреслити координати точок у введеної системі координат
3. Використовуючи потрібну формулу, скласти рівність, яке необхідно довести, і довести його в координатній формі.
4. Записати відповідь.
Використання методу координат дозволить вирішувати й інші завдання.
Після виведення алгоритму корисно відразу провести його спеціалізацію на другий завданню, оформивши всі записи в таблицю.
Так само узагальнюючі таблиці зручно використовувати при виведенні нового поняття. При цьому поняття формулюється на основі вирішених завдань, що підводять до його визначення.
Приклад 40. До визначення поняття ромба можна підвести, вирішивши три завдання визначають його характеристичні властивості і зробивши висновок.
У підручнику [1] дається таке визначення ромба: «Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні». Далі наводиться особливу властивість ромба: «Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і ділять його кути навпіл». Для цілісного усвідомлення поняття «ромб» йде визначення ввести разом з властивістю.
І так, потрібно три завдання:
1) завдання, що підводить до визначення поняття: ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні;
2) завдання, що підводить до першої складової властивості ромба: діагоналі взаємно перпендикулярні;
3) завдання, що підводить до другої складової властивості ромба: діагоналі ділять його кути навпіл.
Всі дані зручно оформити в таблицю [Додаток 11].
Вирішивши всі три завдання, слід приступити до заповнення четвертого стовпця.
З першого завдання слід визначення ромба. З умови другого завдання випливає, що паралелограм ABCD - ромб, і в ньому діагоналі перетинаються під прямим кутом. Результатом рішення третього завдання є з'ясування, що паралелограм ABCD - ромб і до будь-якого ромбу буде застосовано умову задачі, що його діагоналі ділять кути навпіл.
У результаті такого способу формування, поняття «ромб» набагато краще засвоюється учнями, ніж введення поняття дедуктивно.
Широке застосування таблиць відзначається при узагальненні матеріалу, використовуваного при вирішенні завдань. Такі узагальнюючі таблиці можуть бути використані для різних цілей: повторити і систематизувати знання, встановити причинно-наслідкові зв'язки між властивостями об'єктів, викласти матеріал укрупненими блоками, раціонально завчити і відтворити матеріал [15].
Особливе місце серед узагальнюючих таблиць займають динамічні узагальнюючі таблиці. Вони чітко відображають взаємозв'язки об'єктів в таблиці і логіку узагальнення.
Прикладами таких таблиць можуть бути: узагальнююча таблиця властивостей дійсних чисел і векторів у шкільному курсі математики [15] [Додаток 1] і порівняльна таблиця зв'язку векторів у геометрії і фізиці [15] [Додаток 2]. Прикладом узагальнюючої таблиці систематизації знань учнів може служити динамічна узагальнююча таблиця основних тригонометричних формул та їх взаємозв'язків [10] [Додаток 3].
Таким чином, для кращого розуміння процесу порівняння та аналізу завдань, при систематизації методів вирішення завдань, при виведенні понять і узагальненні матеріалу, використовуваного при вирішенні завдань, зручно використовувати узагальнюючі таблиці.
2.6 Дослідне викладання
Мета: апробація методичних рекомендацій на уроках математики в 10-му класі, виявлення їх впливу на результативність навчання школярів рішенню завдань.
Місце проведення: муніципальне загальноосвітній заклад гімназія № 2 міста Кірово - Чепецке Кіровської області.
Час проведення: 2007-2008 навчальний рік.
Клас: 10
Вчитель: Останіна Ольга Олександрівна, вчитель математики вищої кваліфікаційної категорії.
Зміст досвідченого викладання.
Учитель систематично і цілеспрямовано відповідно до методичних рекомендацій здійснював узагальнення рішення задач при вивченні різних тем алгебри і початки аналізу і геометрії.
Наведемо деякі приклади використання узагальнень.
Узагальнення і систематизація теоретичного матеріалу по темі перетворення тригонометричних виразів вчитель проводив за допомогою динамічної узагальнюючої таблиці основних тригонометричних формул та їх взаємозв'язків з пункту 2.5 [Додаток 3].
При вивченні теми «похідна» для формування поняття похідної здійснювалося індуктивне узагальнення результатів рішень завдань з різних галузей знань (механіки, геометрії, фізики).
На основі порівняння та аналізу рішення конкретних завдань було виявлено загальний математичний алгоритм рішення для всіх конкретних завдань, які призводять до нового математичного поняття - поняття похідної. Всі записи були оформлені в таблицю. [Додаток 4]
Після заповнення таблиці дається визначення похідної: похідною функції f в точці х 0 називається границя відношення приросту функції до викликав його приросту аргументу, обчислений за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, якщо ця межа існує і кінцевий.
Поняття похідної дозволило сформулювати інші поняття: миттєвої швидкості тіла («миттєва швидкість є похідна шляху по часу»), кутового коефіцієнта дотичної до графіка диференціюється («кутовий коефіцієнт похідна функції в цій точці f (х 0)»), миттєвої сили струму ( «миттєва сила струму є похідна кількості електрики за часом»).
При такому підході учні змогли усвідомити поява поняття і засвоїти механічний, геометричний, фізичний зміст похідної, а так само навчитися вирішувати різноманітні завдання на додатки похідної.
При вивченні цієї ж теми проводилося узагальнення вирішення конкретного завдання на відшукання найбільшого і найменшого значення до методу розв'язання класу задач на оптимізацію.
Для цього була обрана конкретна задача, її рішення оформлялося в таблицю, що складається з двох стовпців [додаток 5]. У лівому стовпчику - рішення конкретної задачі, у правому - рішення узагальненої задачі.
Завдання: сума двох цілих чисел дорівнює 24. Знайдіть ці числа, якщо відомо, що їхній твір приймає найбільше значення [25, № 949а].
Таким чином було виведено загальний метод розв'язання задач на відшукання найбільшого і найменшого значення.
Складена схема розв'язання задач на оптимізацію порівнювалася зі схемою рішення алгебраїчних текстових завдань і був зроблений висновок, текстові задачі алгебри і початків аналізу вирішуються за однією схемою
З рішення даного конкретного завдання так само можна вивести наступне узагальнення: «твір двох чисел, якщо відома їхня сума, буде найбільшим, якщо ці числа рівні».
Узагальнення як метод вирішення завдань щодо індукції використовувалося при виведенні формули площі бічної поверхні правильної n-вугільної призми.
Спочатку виводилася формула площі бічної поверхні правильної трикутної призми.
Так як S-пліч = P осн * h, то для правильної трикутної призми буде виконуватися: S-пліч = 3 * а * h, де а - сторона правильного трикутника, що знаходиться в основі призми.
Далі формула узагальнювалося до формули площі бічної поверхні правильної n-вугільної призми.
Так, S-пліч = n * а * h, де а - сторона правильного n-кутника, що знаходиться в основі призми.
Усі записи оформляємо в таблицю [додаток 6].
Виведена таким чином формула більш зрозуміла учням і відразу визначається клас завдань, до яких застосовується ця Конвенція.
Узагальнення як метод вирішення завдань в «загальному вигляді» було здійснено при вивченні теми «Многогранники» на уроці «Рішення задач на призму», з метою показати, як іноді буває більш зручно розв'язати задачу в загальному вигляді, а потім підставити конкретні значення [Додаток 7 ].
Був зроблений висновок, що рішення задачі в загальному вигляді і подальша підстановка числових даних коротше і виробляється швидше за часом, так само чіткіше проглядається план виконання завдання.
У результаті апробації було встановлено, що використання методичних рекомендацій дозволило підвищити пізнавальну активність учнів і результативність вирішення завдань, що підтверджено рецензією вчителя проводив дослідне викладання.
Висновки по другому розділі.
Таким чином узагальнення при навчанні рішенню завдань є ефективним засобом пошуку розв'язання задачі та оволодіння загальними методами вирішення завдань.
Індуктивні узагальнення при вирішенні математичних задач використовуються для виведення нових методів вирішення завдань, переходу від одних методів розв'язання задач до більш загальним, застосовним до розв'язання широкого класу задач. Так само індуктивні узагальнення підходів до вирішення завдання їх систематизація допомагають у створенні системи рад, корисних у процесі відшукання рішення задачі.
Самі узагальнення можуть бути методом вирішення класу задач. При використанні узагальнення як методу розв'язання завдань «по індукції» необхідно вміти виділяти окремі випадки. Корисно навчати школярів вирішення завдань у загальному вигляді, так як часто узагальнену завдання вирішити легше, ніж конкретне завдання.
Узагальнення приводять у виникненню нових завдань. Необхідно проводити аналіз завдань і їхніх рішень, а так само узагальнених задач і їх рішень, при цьому учні можуть самі складати нові завдання, здійснюючи заміну частини даних іншими при збереженні шуканих, додаючи нові висновки або узагальнюючи шукані.
Введення понять і теорем за допомогою узагальнення завдань покращує розуміння вводиться знання, учні самі усвідомлюють, як отримали і для чого потрібно нове знання, визначають його місце в системі інших понять чи теорем.
Узагальнюючі таблиці служать для проведення порівняння і аналізу математичних задач і їх рішень, при систематизації способів і методів вирішення завдань, при складанні системи рад для пошуку вирішення завдань, при виведенні понять і узагальненні матеріалу, використовуваного при вирішенні завдань.
У результаті проведення дослідного викладання було виявлено позитивний вплив здійснення узагальнень на результативність навчання школярів рішенню завдань.
Висновок
У даній роботі розглянуті узагальнення при навчанні розв'язання математичних задач в курсі середньої (повної) школи.
Мета роботи досягнута, поставлені завдання виконані.
У роботі були розглянуті узагальнення при навчанні методам розв'язування математичних завдань, узагальнення як метод розв'язання математичних задач, узагальнення як джерело нових математичних задач, так само узагальнення завдань ведуть до формування математичних понять і теорем.
Так само було показано роль таблиць як засобу узагальнення при навчанні розв'язання математичних задач.
Дослідне викладання підтвердило висунуту гіпотезу: якщо на уроках математики організувати процес навчання рішенню завдань відповідно до запропонованих методичними рекомендаціями, то це дозволить підвищити результативність навчання школярів рішенню завдань.
Бібліографічний список
1. Атанасян, Л.С. Геометрія 7-9 [Текст]: навч. для загаль. установ / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Е.Г. Позняк, І.І. Юдіна. - М.: Просвещение. 1996. - 336 с.
2. Атанасян, Л.С. Геометрія 10-11 [Текст]: навч. для загаль. установ / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Е.Г. Позняк, І.І. Юдіна. - М.: Просвещение. 1997. - 256 с.
3. Балк, Г.Д. Про застосування евристичних прийомів у шкільному викладанні математики [Текст] / Г.Д. Балк / / Математика в школі. - 1969. - № 5. - С. 21 - 28.
4. Бернштейн, М.С. Завдання на доказ в курсі геометрії [Текст] / М.С. Бернштейн / / Математика в школі. -1941. - № 4. - С. 19-30.
5. Богушевської, К.С. З листів і нотаток читачів [Текст] / К.С. Богушевкій / / Математика в школі. -1952. - № 5. - С. 60-72.
6. Болтянский, В.Г. Аналіз - пошук рішення задач [Текст] / В.Г. Болтянский / / Математика в школі. - 1974. - № 1. - С. 34 - 40.
7. Виготський, Л.С. Вибрані педагогічні дослідження [Текст] / Л.С. Виготський, Л.С. - М.: Изд-во АПНРСФСР, 1956. - 519 с.
8. Горський, Д.П. Короткий словник з логіки [Текст] / Д.П. Горський, А.А. Івін, А.Л. Нікіфоров; Під ред. Д.П. Горського. - М.: Просвещение, 1991. - 208 с.
9. Горський, Узагальнення і пізнання Д.П. Горський. - М.: Думка. 1985. - 208 с.
10. Груденов, Я.І. Удосконалення методики роботи вчителя математики [Текст]: кн. для вчителя / Я.І. Груденов. - М.: Просвещение, 1990. - 224 с.
11. Дорофєєв, Г.В. Узагальнення методу інтервалів [Текст] / Г.В. Дорофєєв / / Математика в школі. - 1969. - № З.-С. 39-44.
12. Зільберберг, Н.І. Урок математики [Текст]: підготовка і проведення: кн. для вчителя / Н.І. Зільберберг. - М.: Просвещение; Учеб. лит., 1995. - 178 с.
13. ІЗААК, Д.Ф. Узагальнення завдань з геометрії [Текст] / Д.Ф. ІЗААК / / Математика в школі. - 1983. - № 2. - С. 55 - 57.
14. Канін, Є.С. Заключний етап вирішення навчальних завдань [Текст] / Є.С. Канін, Ф.Ф. Нагібін / / Викладання алгебри та геометрії в школі / сост. О.А. Боковня. - М., 1982. - С. 131-139.
15. Канін, Є.С. Навчальні математичні задачі [Текст]: навч. посібник / Є.С. Канін. - К.: Вид - во Вят. ГГУ, 2003. - 191 с.
16. Кретинин, О.С. формування прийомів узагальнення і спеціалізації в 5 класі [Текст] / О.С. Кретинин / / Математика в школі. - 1972. - № 2. - С. 28 - 30.
17. Кузнєцова, Алгебра. 9 кл [Текст]: сборн. зад. для проведення письм. прим. з алгебри за курс осн. школи / Л.В. Кузнєцова, Е.А. Бунімович, Б.П. Пігарєв, С.Б. Суворова. - М.: Дрофа, 1996. - 144 с.
18. Кушнір, І.А. Про один спосіб розв'язання задач на побудову [Текст] / І.А. Кушнір / / Математика в школі. - 1984. - № 2. - С. 22 - 25.
19. Маланюк, М.П., Гап'юк, Я.Ф. Вправи узагальнюючого характеру в курсі алгебри 6 класу [Текст] / М.П. Маланюк, Я.Ф. Гап'юк / / Математика в школі. - 1984. - № 2. - С. 25 - 27.
20. Малих, Є.В. Узагальнення в навчанні математики учнів повної середньої школи [Текст]: дис. ... Канд. пед. наук. Кіров. 2005.
21. Методика узагальнюючих повторень при навчанні математиці [Текст]: посібник для вчителів та студентів / В.А. Далингер. - Омськ: вид-во ОДПІ. 1992. - 88 с.
22. Методика викладання математики в середній школі. Загальна методика [Текст]: навч. посібник для студентів пед. ін-ів / А.Я. Блох, Є.С. Канін; сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение. 1985. - 336 с.
23. Методика викладання математики в середній школі. Загальна методика [Текст]: навч. посібник для студентів фіз. - Мат. фак. пед. ін-ів / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягін, Г.Л. Луканкін, В.Я. Саннінскій. - М.: Просвещение. 1980. - 368 с.
24. Мордкович, А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10-11 кл. [Текст]: навч. для загаль. установ / О.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2003. - 375 с.
25. Мордкович, А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10-11 кл. [Текст]: задачник для загаль. установ / О.Г. Мордкович, Л.О. Деніщева, Т.А. Корєшкова, Т.М. Мішустіна, О.Є. Тульчинська; під ред. А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.
26. Мордкович, А.Г. Бесіди з учителями математики [Текст]: Концептуал. методика. Рекомендації, поради, зауваження. Навчання через завдання / О.Г. Мордкович. - М.: Школа-Пресс, 1995. - 272 с.
27. Островський, А.І. Геометрія допомагає арифметиці [Текст] / А І. Островський, Б. А Кордемский. - М: Физматгиз, 1960. -168 С.
28. Педагогіка [Текст]: навч. посібник для студентів пед. ін-ів / Ю.К. Бабанський, В.А. Сластенін, Н.А. Сорокін; під ред. Ю.К. Бабанського. 2 - ге вид., Доп. і перераб. - М.: Просвещение, 1988. - 479 с.
29. Педагогічний енциклопедичний словник [Текст] / гол. ред. Б.М. Бім - Бад. - М: Велика Російська енциклопедія, 2002. - 528 с.
30. Пойа, Д. Як вирішувати проблему [Текст]: пер. з англ. / Д. Пойа. - М.: Учпедгиз, 1959. - 216 с.
31. Пойа, Д. Математика і правдоподібні міркування [Текст] / Д. Пойа. - М.: Наука, 1975. - 464 с.
32. Пойа, Д. Математичне відкриття [Текст] / Д. Пойа. - М.: Наука, 1970. - 452 с.
33. Понарін, Я.П. Геометрія [Текст]: навчальний посібник / Я.П. Понарін. - Ростов-на-Дону: Фенікс, 1997. - 512 с.
34. Психологічний словник / під ред. В.В. Давидова, А.В. Запорожця, Б.Ф. Ломова; наук. - Дослід. ін-т загальної та педагогічної психології АПН СРСР. - М.: Педагогіка, 1983. - 448 с.
35. Родіонов, М.А. Теорія і методика формування мотивації навчальної діяльності школярів у процесі навчання математики [Текст]: дис. ... Докт. пед. наук. - Саранськ, 2001.
36. Розенфельд, Д.І. Про ознайомлення учнів з методом узагальнення [Текст] / Д.І. Розенфельд / / Математика в школі. - 1965. - № 1. - С. 41-43
37. Рубінштейн, С.Л. Основи загальної психології [Текст] / С.Л Рубінштейн. - СПб.: Пітер Ком, 1998 - 688 с.
38. Саранцев, Г.І. Загальна методика викладання математики [Текст]: навч. посібник для студентів мат. спец. пед. вузів та університетів / Г.І. Саранцев. - Саранськ: Тип. «Крас. Жовтень. », 1999. - 208 с.
39. Семенов, О.Є. Про один прийомі навчання учнів узагальнення та конкретизації [Текст] / О.Є. Семенов / / Математика в школі. - 1976. - № 2. - С. 55 - 57.
40. Філософська енциклопедія [Текст]. Т4.-М.: Сучасна енциклопедія, 1967. - 519 с.
41. Філософський енциклопедичний словник [Текст]. Т4.-М.: Сучасна енциклопедія, 1983. - 446 с.
42. Фрідман, Л.М., Турецький Є.М. Як навчитися вирішувати задачі [Текст]: кн. для учнів ст. класів середовищ. шк. / Л.М. Фрідман, Є.М. Турецький. - 3-е вид., Дораб. - М.: Просвещение, 1989. -192 С.
43. Ерднієв, П.М. Укрупнення дидактичних одиниць у навчанні метематіке [Текст]: кн. для вчителя / П.М. Ерднієв, Б.П. Ерднієв. - М.: Просвещение, 1986. - 255 с.
Програми
Додаток 1
| Дійсні числа | Вектори |
| 1. Існують відносини ра венства і нерівності | 1. Існують відносини ра венства і нерівності |
| 2. Є нуль | 2. Є нульовий вектор |
| 3. Існують протилежні числа a + (- a) = 0 | 3. Існують протилежні вектори: |
| 4. Визначено дії додавання і віднімання чисел. Результат - число | 4. Визначено дії додавання і віднімання векторів. Результат - вектор. |
| 5. Виконуються закони додавання a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c | 5. Виконуються закони додавання: |
| 6. Визначено дії множення і ділення чисел. Результат - число. Ділити на 0 не можна | 6. Визначено дію множення (ділення) вектора на число. Результат - вектор. Визначено скалярне множення векторів. Результат - число. |
| 7. Виплоняются закони множення: a * b = b * a (A * b) * c = a * (b * c) (A + b) * c = a * c + b * c a * b | 7. Виплоняются закони множення: Не виконується |
| 8. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною дійсних чисел і точками координатної прямої | 8. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною векторів та точками координатної площини |
| 9. | 9. |
| 10. Направлення на прямий | 10. Напрямок на площині |
Додаток 2
| Вектори в геометрії | Вектори у фізиці |
| Вектор - направлений відрізок | Вектор - направлений відрізок: сила, швидкість, прискорення, момент сили і т.п. |
| Скалярний множення векторів | Робота: 1) при русі по похилій площині 2) |
| Обчислення довжини лектора | Знаходження значення рівнодіючої сили, швидкості та ін |
| Розкладання вектора по координатним осям або по двох даними векторах | Розкладання сил, швидкостей, інших векторних величин за координатним осям або двом даним векторам |
| Нульовий вектор | Сума сил по замкнутому багатокутної контуру; сума сил прикладених до центру тяжіння фігури |
| Компланарних вектора | Сили, швидкості, прискорення та ін, що діють в одному або протилежних напрямках |
| Некомпланарние вектори | Фізичні векторні величини, спрямовані один до одного під кутом |
Додаток 3
Додаток 4
| Завдання про швидкість руху (механіка) | Задача про дотичній до графіка функції (геометрія) | Завдання про миттєву силі електричного струму (фізика) | загальний алгоритм вирішення цих завдань |
| Знайти миттєву швидкість руху тіла в момент часу t. | Дан графік функції f = f (x) і точка М (х 0, f (x 0)) на ньому. У цій точці до графіка проведено дотична (припустимо що існує). Знайти кутовий коефіцієнт дотичної. | Для ланцюга змінного струму визначити силу струму в даний момент часу | Знаходження похідної функції у заданій точці. |
| Позначимо залежність шляху від часу як функцію S = S (t). | Розглянемо функцію f = f (x) диференційовану в заданій точці М | Розглянемо залежність кількості електрики, що протікає через поперечний переріз провідника за час t як функцію Q = Q (t) | Вибираємо деяку функцію f = f (x). |
| зафіксуємо якийсь момент часу t, дамо аргументу t прирощення | Зафіксуємо х 0 і додамо прирощення аргументу | Зафіксуємо значення часу t 0, дамо аргументу t прирощення | Зафіксуємо х 0, додамо прирощення аргументу |
| Знайдемо S (t), S (t + | Знайдемо f (x 0), f (x 0 + | Знайдемо Q (t 0), Q (t 0 + | Знайдемо f (x 0), f (x 0 + |
| Знайдемо середню швидкість v ср .= | Тоді кутовий коефіцієнт січної буде | Знайдемо середню силу струму I ср .= | Складемо ставлення |
| Тоді миттєва швидкість руху в момент часу t буде обчислюватися як межа середньої швидкості при | Враховуючи, що дотична до кривої в точці М є граничне положення січної то при | Миттєва сила струму є межа середньої сили струму при I уд .= | визначаємо умова існування межі |
| Це і є миттєва швидкість руху тіла. | Це і є кутовий коефіцієнт дотичної | Це є визначення миттєвої сили струму. | Тоді межа |
Додаток 5
Завдання: сума двох цілих чисел дорівнює 24. Знайдіть ці числа, якщо відомо, що їхній твір приймає найбільше значення [25, № 949а].
| Рішення конкретного завдання | Рішення узагальненої задачі |
| сума двох цілих чисел дорівнює 24. Знайдіть ці числа, якщо відомо, що їхній твір приймає найбільше значення. | За вихідними даними знайти найбільше або найменше значення якої-небудь функції |
| 1. Введемо змінні: перше число дорівнює х, друге - 24-х | 2. Ввести змінну, виразити через неї всі інші змінні завдання |
| 2. Твором двох чисел є функція P (x) = x (24-х) | 3. Скласти функцію для дослідження на екстремум |
| 3. Так як х - ціле число, а сума двох чисел дорівнює 24, то 0 <х <24 | 4. Визначити за умовою задачі області завдання функції |
| 4. Завдання звелася до знаходження такого значення х, при якому функція P (x) = x * (24-х) приймає найбільше значення на інтервалі (0; 24); P '(x) = 24-2х; 24-2х = 0. Звідси х = 12. При х = 12 функція P (x) = x * (24-х) на інтервалі (0; 24) приймає найбільше значення | 5. Дослідити отриману функцію на екстремум, потім на найбільше або найменше значення на області завдання |
| 5. Таким чином обидва числа рівні 12. | 6. Записати відповідь |
Додаток 6
| Вид призми | Площа бічної поверхні правильної трикутної призми | Площа бічної поверхні правильної n-вугільної призми. |
| Креслення | ||
| Загальна формула площі бічної поверхні призми | S-пліч = P осн * h | S-пліч = P осн * h |
| Виведення формули площі бічної поверхні призми необхідного виду | 1) h - висота правильної трикутної призми, в даному випадку ребро призми. 2) P осн - периметр правильної трикутної призми В основі правильний трикутник -> P осн = 3 * a, де а - сторона правильного трикутника, що знаходиться в основі призми | 1) h - висота правильної n-вугільної призми, в даному випадку ребро призми 2) P осн - периметр правильної n-вугільної призми В основі правильний n-кутник -> P осн = n * a, де а - сторона правильного n-кутника, що знаходиться в основі призми |
| формула площі бічної поверхні призми необхідного виду | S-пліч = 3 * а * h | S-пліч = n * а * h |
Додаток 7
Завдання: Підставою похилій призми ABCA 1 B 1 C 1 є рівнобедрений трикутник ABC, у якому AC = AB = 13 см, BC = 10 см, а бічне ребро призми утворює з площиною основи кут 45 0. Проекцією вершини А 1 є точка перетину медіан трикутника ABC. Знайдіть площу грані CC 1 B 1 B »[2, № 228].
Рішення:
Спочатку завдання було вирішене за етапами. Цим була показана громіздкість рішення і змотивувати відшукання вирішення задачі в «загальному вигляді» з подальшою підстановкою числових даних.
1. Рішення по етапах.
1) Так як трикутник ABC - рівнобедрений, то AK є медіаною і висотою. Тоді AK =
2) по властивості медіани
4) Тоді AA 1 =
5) Так як ABCA 1 B 1 C 1 - призма, то AA 1 = BB 1 = CC 1
6) Тоді - паралелограм. S BB 1 CC 1 = BB 1 * BC,
то S BB 1 CC 1 = 10 *
Відповідь: S BB 1 CC 1 =
2. Рішення задачі в загальному вигляді з наступною
підстановкою даних коротше і швидше.
S BB 1 CC 1 = BB 1 * BC; AA 1 = BB 1 = CC 1, то S BB 1 CC 1 = AA 1 * BC =
Додаток 8
| Задача 1 | Задача 2 | Задача 3 | Метод |
| Побудувати рівнобедрений трикутник ABC (b = c) по а, h b. | Побудувати трикутник ABC по a, m b, m c | Побудувати ромб ABCD по діагоналі BD і висоті ВН | Побудова фігури за допомогою допоміжного трикутника |
| 1) Шукаємо допоміжний трикутник: таким трикутником зручно вважати 2) Це дасть кут C, отже, і кут ABC. 3) є а, Схематично запишемо: - (A, h b) -> CDB-> - (A, | 1) Нехай M - точка перетину медіан. Шукаємо допоміжний трикутник: це 2) (2/3m b, 2/3m c, a) дадуть 3) за допомогою цих кутів можна побудувати боку b, с. - (M b, a, - (M c, a, - (B, c, a) -> | 1) Шукаємо допоміжний трикутник: так як відома висота і діагональ, то це 2) це дасть 3) Тепер можна побудувати рівнобедрений трикутник BDA, а отже, і ромб ABCD. | 1) Проаналізувати умову задачі і знайти допоміжний трикутник. Провести креслення. 2) Визначити елементи допоміжного трикутника, за допомогою яких можливе подальше побудова шуканої фігури. 3) провести подальше побудова. |
Додаток 9
| Питання та поради для засвоєння змісту завдання |
| А). Спочатку слід ознайомитися із завданням, уважно прочитавши її зміст. При цьому схоплюється загальна ситуація, описана в задачі. Б). Ознайомившись із завданням, необхідно вникнути в її зміст. У задачі на знаходження виділити дані і шукані, а в задачі на доказ - посилки і укладання. В). У тому випадку, коли дані (або шукані) в задачі не позначені, треба ввести відповідні позначення. Г). Часто розуміння завдання допомагає поділ умови на частини і запис кожної частини умови за допомогою введених позначень. Д). Якщо завдання геометрична або пов'язана з геометричними фігурами, корисно до задачі і позначити на кресленні дані і шукані. Е). Корисно відповісти на запитання: «Чи можливо задовольнити умові завдання?» Відповідаючи на нього, корисно з'ясувати, однозначно чи сформульована завдання, чи не містить вона надлишкових або суперечливих даних. Одночасно з'ясовується, чи достатньо даних для вирішення завдання. |
| Питання та поради для складання плану виконання завдання |
| А). Чи відома вам якась родинна завдання? Аналогічна задача? Б). Подумайте, чи відома вам завдання, до якої можна звести вирішувану? В). Якщо родинна завдання невідома і звести цю задачу до якої-небудь відомої задачі не вдається, то варто скористатися порадою: «Спробуйте сформулювати завдання інакше». При переформулювання завдання або користуються визначеннями даних в ній математичних понять (замінюють терміни їх визначеннями), або їх ознаками (точніше сказати, достатніми умовами). Г). Складаючи план виконання завдання, слід поставити собі питання: «чи всі дані завдання використані?» Виявлення необлікованих даних завдання полегшує складання плану її вирішення. Можливо, є «приховані» дані. Д). Іноді корисно слідувати пораді «Спробуйте перетворити шукані або дані». При цьому дані перетворять так, щоб вони наблизилися до шуканим. Е). Якщо слідуючи попереднім радам, вам не вдалося скласти план рішення, то можна скористатися такою порадою: «спробуйте вирішити лише частину завдання», тобто спробуйте задовольнити лише частини умов, з тим, щоб далі шукати спосіб задовольнити решти умов завдання. Цю пораду можна розширити, розвинути до ради: «розчленувати завдання на більш прості завдання». Ж). Нерідко у складанні плану виконання завдання допомагає відповідь на запитання: «Для якого окремого випадку можливо досить швидко вирішити це завдання?» Виявивши такий окремий випадок, можна скористатися рішенням завдання в знайденому окремому випадку для більш загального (але, можливо, не самого загального) випадку. Так можна поступити, поступово узагальнюючи завдання до вихідної, розв'язуваної задачі. Порада: «Розгляньте окремі випадки задачний ситуації, вирішите задачу для якого-небудь окремого випадку, застосуйте індуктивні міркування». 3). Іноді вирішення завдання виявляється простіше, якщо сформулювати і вирішити завдання спочатку більш загальну, а потім з її допомогою вирішити це завдання. Порада: «Спробуйте сформулювати і вирішити більш загальну задачу». |
| Поради для реалізації плану виконання завдання |
| А). Перевіряйте кожен свій крок, переконуючись, що він зроблений правильно. Іншими словами, потрібно доводити правильність кожного кроку посиланнями на відповідні відомі раніше математичні факти, пропозиції. Б). При реалізації плану допоможе порада: «Замініть терміни і символи їх визначеннями». В). При вирішенні деяких завдань допомагає порада: «Скористайтеся властивостями даних в умові об'єктів». Аналіз та перевірка правильності рішення завдань А). Перевірте результат. Б). Перевірте хід рішення. В). Перевіряючи правильність ходу рішення, переконуємося й у правильності результату. Порада: «Перевірте всі вузлові пункти рішення». Г). Другий спосіб перевірки результату полягає в отриманні того ж результату застосуванням іншого методу розв'язання задачі, тому корисно відповісти на запитання: «Чи не можна той же результат отримати інакше?» Іншими словами варто слідувати пораді: «Вирішіть завдання іншим способом». Якщо при вирішенні завдання іншим способом отриманий той же результат, завдання можна вважати вирішеною правильно. |
Додаток 10
| кроки | Завдання № 1: доведіть, що середина гіпотенузи прямокутного трикутника рівновіддалена від усіх його вершин. | Загальний алгоритм | Завдання № 2: доведіть, що сума квадратів усіх сторін паралелограма дорівнює сумі квадратів його діагоналей. |
| 1 | Розглянемо трикутник ABC, кут С-прямій. М - середина гіпотенузи AB. Введемо прямокутну систему координат так, що С-центр, CB-на осі х, СA - на осі у. | Вводимо прямокутну систему координат так, аби одна з точок фігури була центром, і хоча б одна сторона лежала на який-небудь осі. | АBCD-даний паралелограм. Введемо прямокутну систему координат так, що А-центр, AD - на осі х. |
| 2 | Позначимо: BC = a, AC = b, тоді вершини C (0,0), B (a, 0), A (0, b), М (a / 2, b / 2) | Позначаємо координати точок у введеної системі координат. | Позначимо: AD = BC = a, тоді вершини A (0,0), B (b, c), D (a, 0), C (a + b, c) |
| 3 | Користуючись формулою відстані між двома точками, знайдемо довжини відрізків MC, MA: | Використовуючи потрібну формулу, складаємо рівність, яке необхідно довести, і доводимо його в координатній формі. | Використовуючи формулу відстані між двома точками, знайдемо: AB 2 = b 2 + c 2; AD 2 = a 2; AC 2 = (a + b) 2 + c 2; BD 2 = (ab) 2 + c 2 Звідси: AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = 2 * (AB 2 + AD 2) = 2 * (a 2 + b 2 + c 2), AC 2 + AD 2 = (a + b) 2 + c 2 + (ab) 2 + c 2 = 2 * (a 2 + b 2 + c 2) |
| MA = MB = MC, що й потрібно було довести | Запис відповіді | Таким чином, AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2, що й потрібно було довести |
Додаток 11
| № | Завдання | Рішення завдання | Висновок |
| 1 | Визначити вид чотирикутника ABCD його вид, якщо відомо, що | 1) Таким чином ABCD - паралелограм. 3) У параллелограмме рівність: AB + CD = BC + AD вірно тільки при рівності всіх елементів, тобто AB = BC = CD = AD. Робимо висновок: вид чотирикутника - паралелограм, у якого всі сторони рівні. | Визначення: паралелограм, у якого всі сторони рівні називається ромбом |
| 2 | Дан, паралелограм ABCD AB = BC = CD = AD. Довести, що трикутник BOC - прямокутний, де O - точка перетину діагоналей. | 2) У параллелограмме діагоналі точкою перетину діляться навпіл, тобто OA = OC та BO - медіана. 3) У трикутник медіана є ще і висотою, тобто Таким чином трикутник BOC - прямокутний | Так як в параллелограмме ABCD всі сторони рівні, то це ромб. Завдання відображає властивість ромба: діагоналі ромба взаємно перпендикулярні |
| 3 | У параллелограмме ABCD | 1) 2) Тоді трикутник - рівнобедрений 3) Тоді в параллелограмме ABCD всі сторони рівні і його периметр дорівнює 4 * а | Виявили, що даний паралелограм є ромбом. У ромбі справедливо, що його діагоналі ділять кути навпіл |